Новосельцева Н.В., кандидат педагогических наук, педагог-мастер (учитель начальных классов с пед.стажем 32 года)
ТУПр «Математика. 1-4 класс».
Замечания и предложения по тексту Типовой учебной программы «Математика» для 1-4 классов уровня начального образования.
1. Соответствие ГОСО.
1.1. Ценности. Согласно п.п. 9.2. Приказа № 221 «Об утверждении Правил организации работы по экспертизе и апробации типовых учебных планов, типовых учебных программ дошкольного воспитания и обучения, начального, основного среднего, общего среднего образования» https://adilet.zan.kz/rus/docs/V2100022776 (в который были внесены актуальные изменения в 2025 году), ТУПр должна полностью соответствовать ГОСО. Но, например, слово «ценности» употребляются в ТУПр лишь два раза. Первый раз — стр. 1 говорится о базовых ценностях, но они не перечисляются. Второй раз — стр. 3: «Обучающиеся учатся видеть в математике не только средство для решения задач, но и инструмент для понимания мира, развития критического мышления и ценностей, таких как логика, честность и усердие». Основная неточность касается списка, который приводится как пример ценностей, формируемых математикой: «логика, честность и усердие».
Логика не является ценностью в строгом смысле. Логика — это инструмент познания, метод мышления, объект изучения (в математике) или качество мышления (логичность). Это способ достижения цели, а не сама значимая цель (ценность) личности или общества. Математика способствует формированию логического мышления как качества личности.
Честность является моральной/этической ценностью. Она, безусловно, важна в образовательном процессе (честность при выполнении заданий, в оценке знаний), но её связь с предметом математики менее прямая, чем, например, с трудом или общением. Математика способствует развитию точности и объективности, которые служат основой честности.
Усердие также не является ценностью, а скорее качеством личности, чертой характера или трудовой установкой (например, трудолюбие, ответственность). Это способ выполнения работы.
Таким образом, наблюдается неверный список ценностей. Сами же ценности ГОСО не нашли отражения в Программе. Предлагаем о ценностях сказать ДО ЦЕЛИ и полностью их перечислить. Необходимо написать так:
Типовая учебная программа по учебному предмету «Математика» обеспечивает реализацию единства обучения и воспитания, формирование у обучающегося мировоззрения, нравственных ориентиров посредством содержательных концептов, основанных на базовых ценностях, установленными в ГОСО:
1) независимость и патриотизм;
2) единство и солидарность;
3) справедливость и ответственность;
4) закон и порядок;
5) трудолюбие и профессионализм;
6) созидание и новаторство.
1.2. Содержательные концепты.
В ТУПр «Математика» лишь упоминается о содержательных концептах. Но они даже НЕ перечисляются. Содержательные концепты необходимо перечислить, объяснить каждый. Авторы увлеклись идеей «Сквозных тем» и нашли слова для пояснения их значимости (что на самом деле условно и не измеримо), однако оставили без внимания содержательные концепты.
Для понимания роли содержательных концептов необходимо их расписать по «подтемам», чтобы учителя понимали какое именно содержание подходит именно первоклассникам. Это вообще необходимо сделать во всех ТУПр, не только для начальной школы. А то получается, что концепт «Родина» есть и в 1 классе, и в 9 классе. А какая между ними содержательная разница? Авторы программы недооценивают роль концептов и переоценивают роль сквозных тем. Если есть концепты, то как они будут коррелироваться со сквозными темами?
1.3. Ключевые компетенции.
В ГОСО имеется список ключевых компетенций ученика начальной школы. Однако в ТУПр «Математика» почему-то другой список. Более того, это два разных списка. Вот стр 1: «Содержание типовой учебной программы по учебному предмету «Математика» ориентируется на формирование у обучающегося компетенции личностного самосовершенствования, языковых и коммуникативных, культурно-социальных, трудовых, учебно-познавательных, исследовательских, информационно-технологических ключевых компетенций по завершению начального образования». А вот список со страницы 11: «Ожидаемые результаты освоения содержания начального образования ориентируют на формирование у обучающегося гражданско-патриотических, этических, социально-нравственных, творческих ключевых компетенций и навыков самоорганизации».
Термины ключевых компетенций ТУПр кардинально отличаются от перечисленных в ГОСО. Необходимо их удалить. Тем более что они не соответствуют возрастным особенностям первоклассников и написаны некорректно.
Проблемы и противоречия с перечислением ключевых компетенций (стр. 1):
Избыточность. Перечисление включает все или почти все ключевые компетенции, существующие в педагогике (…личностного самосовершенствования, языковых и коммуникативных, культурно-социальных, трудовых, учебно-познавательных, исследовательских, информационно-технологических ключевых компетенций). Если все эти компетенции формирует только математика, то другие предметы становятся ненужными. Это размывает специфику предмета.
Языковые и коммуникативные. Хотя математика требует коммуникации (объяснение решения) и языка (математического), выделять их как приоритет для математики, а не для, например, русского языка, некорректно. Они общепредметны.
Культурно-социальные. Математика вносит вклад в культуру, но эта формулировка слишком широка и неспецифична для предмета.
Трудовые. Трудовые компетенции (например, навыки работы с инструментом) не являются прямым и основным ожидаемым результатом обучения математике в начальной школе.
Исследовательские. Формируются лишь в базовом, начальном виде (простейшее наблюдение, выдвижение гипотезы). Выделять их как ключевые результаты в 1-4 классах излишне амбициозно и неточно.
Вывод по стр 1: Список выглядит как шаблонный перечень всех компетенций, механически скопированный в программу по математике, без выделения приоритетных для этого предмета (например, логико-математические, учебно-познавательные, информационно-технологические).
Проблемы и противоречия с перечислением ключевых компетенций (стр. 11):
Гражданско-патриотические. Это ценностно-мировоззренческие компетенции, которые формируются всей системой обучения и воспитания предметами вроде «Познание мира» или истории. Их включение в ожидаемые результаты именно освоения содержания математики в 1–4 классах является методической ошибкой.
Этические, социально-нравственные. Как и выше, это компетенции, связанные с моральным развитием, а не с конкретным содержанием предмета (числа, фигуры, вычисления). Они общешкольные, но не могут быть ключевым ожидаемым результатом математической программы.
Противоречие между Цитатами (стр.1 – стр 11). Цитата стр. 1 говорит о Компетенциях личностного самосовершенствования, языковых, ИКТ и т.д., которые формируются содержанием программы. Цитата стр.11 говорит о Гражданско-патриотических, этических компетенциях, на которые ориентированы ожидаемые результаты. Должна быть логическая связь: содержание процесс ожидаемый результат. Здесь же наблюдается две параллельные, слабо связанные группы компетенций.
Отсутствие математической специфики. В обоих списках отсутствует или не выделена главная предметная компетенция, которую должна формировать математика в начальной школе: учебно-познавательная в части логического, алгоритмического и пространственного мышления, а также базовые вычислительные навыки.
Вывод. Наблюдается терминологическая путаница: Термины «ключевые компетенции» и «навыки» используются как взаимозаменяемые, а перечисление на стр. 1 дублирует функции других предметов, не выделяя ядро математического образования (развитие мышления, формирование вычислительных и алгоритмических навыков).
В результате, программа не даёт чёткого ответа, какие конкретные компетенции, являющиеся следствием изучения именно математики, должен приобрести ученик начальной школы.
Предложения:
Необходимо продублировать список, предлагаемый в ГОСО, заменив глаголы существительными:
Содержание учебного предмета «Математика» направлено на формирование у обучающихся 1-4 классов ключевых компетенций:
• проявление уважения к государственным символам Республики Казахстан, истории, культуре и традициям страны;
• выстраивание позитивных отношений с окружающими, умение работать в команде и достигать общих целей;
• проявление честных поступков в жизненных ситуациях, осознание ответственности за свои действия;
• готовность действовать в соответствии с общепринятыми нормами и правилами в обществе;
• демонстрация навыков самоорганизации и самоконтроля;
• проявление творческого подхода в учебной и повседневной деятельности.
Приведенный список ключевых компетенций из Государственного образовательного стандарта Республики Казахстан (ГОСО) носит общевоспитательный и социально-нравственный характер. Для их адаптации к предмету «Математика» в начальной школе необходимо интерпретировать их через призму логики, точности, алгоритмов и практического применения предмета. Например, в ГОСО: «Проявление уважения к государственным символам, истории, культуре и традициям страны». В программе надо написать так: «Использование математики для понимания культурного контекста: (Например, расчёт бюджета для национального праздника, использование орнаментов в геометрии, работа с национальной валютой). Данная компетенция общевоспитательная. Математика обеспечивает практические навыки для её реализации».
Кроме того, необходимо дать разъяснение в каждой ТУПр-е, что именно мы называем ключевыми компетенциями, что именно называем предметными и метапредметными, чтобы в дальнейшем не было разночтений.
Наталья Новосельцева
Новосельцева Н.В., кандидат педагогических наук, педагог-мастер (учитель начальных классов с пед.стажем 32 года)
1.4. СКВОЗНЫЕ ТЕМЫ
Остановимся подробнее на «сквозных темах». В ТУПр имеется полная таблица со сквозными темами. Однако первое противоречие – эти темы давно перестали быть сквозными. «Сквозные» — значит они должны быть в КАЖДОЙ программе по КАЖДОМУ предмету ОДИНАКОВЫЕ в тот или иной промежуток времени. Однако если посмотреть все другие программы, например, естествознание – совершенно другие РАЗДЕЛЫ, иностранные языки – другие сквозные темы. В представленном тексте, который описывает задачи обучения математике и использование сквозных тем, есть методологические неточности и риски для освоения именно математических понятий в начальной школе. Рассмотрим это подробнее на конкретных математических примерах.
Возникает вопрос, почему о сквозных темах написано сразу после задач начального курса математики? Ответ очевиден: чтобы показать якобы ЗНАЧИМОСТЬ сквозных тем. Но так ли она велика, эта «значимость»? Давайте разберёмся по порядку. Перечень задач (пункты 1–7) демонстрирует ту же проблему, которую мы обсуждали ранее: избыточное смешение предметных и общепедагогических целей. Математические задачи (Пункт 1 и 2): Сформулированы верно и четко: формирование знаний, умений, навыков (вычислительных, измерительных), использование терминов и алгоритмов. Это ядро обучения математике. Психологические/Когнитивные задачи (Пункт 3 и 5): Верно включают развитие мышления (логического, наглядно-образного) и критического мышления. Это естественная функция математики. Общепедагогические/Воспитательные задачи (Пун. 4 и 6): Включают навыки самостоятельной работы, саморегулирования, поиска информации, коммуникативные и социальные навыки (работа в команде, уважение мнения). Хотя они важны, их чрезмерное выделение в задачах по конкретному предмету (математике) размывает фокус и создает ощущение, что математика — это лишь инструмент для развития этих социальных качеств. Связующие задачи (Пункт 7): Внутрипредметные и межпредметные связи — это корректная и важная методическая задача. НО верно ли, что для реализации задач 6 и 7 нужны сквозные темы?
Да, это логично с методической точки зрения, но не является единственным способом. Однако есть серьёзный риск, что это помешает освоению чисто математических понятий.
Проблема не в самой идее контекста, а в преобладании контекста над математическим содержанием. Смещение фокуса. Темы («Здоровое поколение», «Что такое хорошо, что такое плохо», «Быть человеком») настолько обширны и абстрактны, что математика может превратиться в обслуживающий предмет. Учитель может тратить слишком много времени на обсуждение этики или культуры, а не на освоение вычислительных навыков (умножения, деления) или геометрического материала (его и так мало в программе!). Дефицит математической практики. Для прочного освоения математических понятий в начальной школе (особенно вычислительных навыков) требуется многократное, целенаправленное повторение и тренинг (алгоритмическая практика). Сквозная тема может ограничить количество и сложность чисто математических примеров, делая их слишком привязанными к «жизненной» ситуации. Искусственность связей. Связь между некоторыми темами и математикой может быть притянута за уши. Например, как эффективно интегрировать тему «Преданья старины глубокой» или «В мире искусства» с углубленным изучением, например, деления многозначных чисел или дробей? Связь может стать поверхностной (например, «давайте посчитаем, сколько лет этой легенде»), что не способствует глубокому освоению математики.
ВЫВОД. Использование сквозных тем — это современный и полезный методический инструмент, который помогает мотивации и реализует межпредметные / социальные задачи, но не на математическом содержании. Не надо забывать, что в начальной школе главный приоритет — это фундаментальные математические знания и навыки (Пункт 1). ПРЕДЛОЖЕНИЕ: УДАЛИТЬ СКВОЗНЫЕ ТЕМЫ ИЗ МАТЕМАТИЧЕСКОГО СОДЕРЖАНИЯ. Сквозные темы могут лишь выступать контекстом и мотивацией для систематического, углубленного освоения математики, а не подменять или сокращать его. Если в погоне за «социализацией» и «жизненными связями» будет упущен прочный вычислительный навык и навык логического рассуждения, цели программы не будут достигнуты.
В ГОСО имеются содержательные концепты, которые НЕ ПРИВЯЗАНЫ к какому-то разделу или периоду обучения, давайте использовать их, этого достаточно! А сквозные темы необходимы ИСКЛЮЧИТЕЛЬНО для языковых предметов (изучение родного, второго и иностранного языков).
Наталья Новосельцева
Новосельцева Н.В., кандидат педагогических наук, педагог-мастер (учитель начальных классов с пед.стажем 32 года)
3. Терминоносистема.
В марте 2023 года мы работали в качестве экспертов, проводили экспертизу ТУПр «Математика». Наша группа направила авторам список ошибок, в том числе терминологических. Радует, что многое из этого списка было исправлено. (Это легко было сделать, так как мы предложили верные формулировки). Однако, открыв ТУПр 2025 года, мы видим, что некоторые терминологические ошибки остались в целях. Далее мы упускаем подробное объяснение, оставляем только ФАКТЫ.
3.1. Разделы и подразделы предмета.
Это п.п.6, и он сформилирован в программе так: Содержание учебного предмета содержит следующие разделы и подразделы:
1. Числа и величины. Арифметические действия:
1.1 Натуральные числа и число 0. Дроби;
1.2 Операции над числами;
1.3 Величины и их единицы измерения.
2. Элементы алгебры:
2.1 Числовые выражения и равенства, буквенные выражения;
2.2 Равенства и неравенства. Уравнения.
3. Элементы геометрии:
3.1 Геометрические фигуры и их классификация;
3.2 Изображение и построение геометрических фигур.
4. Множества. Элементы логики и статистики:
4.1 Множества и операции над ними;
4.2 Высказывания;
4.3 Последовательности;
4.4 Комбинации предметов;
4.5 Элементы статистики.
5. Задачи. Методы и способы решения задач:
5.1 Задача и математическая модель.
Затем сразу следует п.п.7, который ОТДЕЛЬНО разъясняет раздел «Множества. Элементы логики и статистики». Возникает вопрос: Зачем тут особые разъяснения лишь одного раздела? Тогда надо либо каждый раздел разъяснять, либо удалить п.п.7.
ОШИБКИ в формулировках разделов.
Из раздела «Задачи» убрали подраздел «Математический язык», это правильно. НЕПРАВИЛЬНО его вообще удалить! Математический язык относится к алгебраическому материалу — цифры, буквы латинского алфавита, скобки, знаки арифметических действий… — это «алфавит» предмета «Математика». Из его элементов мы составляем «слова» (математические выражения), а из слов «предложения» (равенства и неравенства).
В разделе «Элементы алгебры» неверно сформулированы подразделы. Раздел «2.1 Числовые выражения и равенства, буквенные выражения»: надо удалить слово «равенства». Во-первых, математическое выражение не имеет знака «=», во-вторых, второй подраздел «2.2 Равенства и неравенства. Уравнения.» содержит равенства, этого достаточно. Не надо писать «равенство» два раза. Но перед этими двумя подразделами НАДО ВСТАВИТЬ «Математический язык», потому что именно на основе математического языка ученики поймут, что такое выражение, что такое равенство, чем они отличаются, что такое уравнение и т.д.
Подраздел «1.3. 1.3 Величины и их единицы измерения» не содеждит операций с именованными числами, судя по формулировке. Это неверно, так как такие операции должны быть в начальном курсе математики.
3.2. Базовое содержание учебного предмета «Математика» для 1 класса:
3.2.1. Формулировка «свойство 1 и 0 при сложении и вычитании» неверна. При сложении и вычитании имеются ТОЛЬКО свойства действий с нулем. С единицей свойства есть только с умножением и делением.
3.2.2. В формулировке «Запись, чтение, сравнение, графические модели и десятичный (разрядный) состав двузначных чисел до 20» сказано о разрядном составе, однако в методике математики понятие разряда вводится в нумерации 21-100. Здесь пока рано.
3.2.3. Необходимо переформулировать данное предложение: «Величины (длина, масса, емкость (вместимость), время) как свойство объектов (предмета, явления, процесса, геометрической фигуры)». Процессы изучаются, когда будет умножение, пока в первом классе никаких процессов нет. Оставить так: (предмета, явления, геометрические фигуры).
3.2.4. Формулировка «Составление, моделирование задачи в одно действие (рисунок, схема, краткая запись) и ее решение (выражение), запись решения и ответа» требует уточнения. Нельзя этот важный пункт программы отдавать на откуп авторам учебников. Тогда в каждом учебнике будет по-разному. Должно быть четко указано моделирование в виде условного рисунка, схемы в отрезках, краткой записи с опорными словами, в виде выражения (выражение — это тоже модель задачи, только знаковая, вот тут и применяется математический язык.).
3.2.5. В первом классе сначала надо ввести понятие высказывания. Поэтому формулировку «Верные и неверные утверждения о предметах окружающего мира, о числах, числовых и буквенных равенствах, единицах длины и соотношений между ними» написать так: «Высказывания. Верные (истинные) и неверные (ложные) высказывания об явлениях в природе, о числах, равенствах и неравенствах». Если понятие высказывание не введено, то его применять неправомерно. Любое понятие должно быть определено, то есть раскрыт его смысл. «Верные (истинные) и неверные (ложные) высказывания» — так исправить по всему тексту. Словосочетание «Верные и неверные утверждения» к математике НЕ ОТНОСИТСЯ.
3.3. Базовое содержание учебного предмета «Математика» для 2 класса:
Базовое содержание второго класса начинается так: «числа в пределах 100», 100 – это уже трёхзначное число, однако терминов «однозначное и двузначное число», как объект изучения детьми нет вообще ни в 1 ни во 2 классе.
3.3.1. Формулировка «Счет. Воспроизведение последовательности чисел в прямом и обратном направлении» не корректна. Эта грубейшая ошибка кочует у нас из программы в программу. Очень часто на уроке учителя допускают именно эту ошибку, говоря «Обратный счет». Счета в обратном направлении не бывает, как и в обратном порядке. Счет может быть только в прямом порядке, ибо его цель — установить сколько? или который по счету? В обратном порядке мы называем числа.
3.3.2. Относительно формулировки «римская нумерация чисел в пределах 20» возникает вопрос, какой смысл в изучении римских чисел? В римской нумерации как дидактическом задании имеется две функции: 1) разведение понятия число-цифра, и тогда это разумно вводить в первом десятке; 2) демонстрация экономичности (удобства) записи чисел с помощью арабских цифр, тогда это лучше вводить в трехзначных числах, либо 21-100.
3.3.3. Дана неверная формулировка: «Величины и единицы их измерения: сантиметр, дециметр, метр, килограмм, центнер, час, минута, сутки, неделя, месяц, год». После двоеточия идет перечень не величин, а единиц их измерения. Не корректно опять. Почему здесь опять те же мерки, ведь сантиметр и дециметр изучали в 1 классе?
3.3.4. Формулировка «Действия с монетами в пределах 100 тенге, действия с монетами и купюрами номиналом 100 тг, 200 тг, 500 тг, 1000 тг» требует дополнения и уточнения. Лучше сформулировать таким образом: «Операции с монетами в пределах 100 тенге, 200 тенге, операции с монетами и купюрами номиналом 100 тенге, 200 тенге, 500 тенге, 1000 тенге».
3.3.5. В «Элементах алгебры» имеется такая формулировка: «Свойства 0 и 1 при умножении и делении». Во-первых, сами свойства — это арифметика. Здесь идет речь про запись свойств с помощью букв? А переместительное свойство было в буквенной форме? Тогда почему оно изучается с одной буквой? Как записать переместительное свойство умножения с помощью выражения и с одной буквой? Во-вторых, забыли свойства с числом 0 при сложении и вычитании.
3.3.6. Во 2 классе вводятся уравнения сложной структуры. Чем обосновано столь раннее введение уравнений сложной структуры? Предлагаем перенести в третий класс.
3.3.7. В формулировке «Многоугольник (прямоугольник, квадрат, прямоугольный треугольник)» странные многоугольники перечислены в скобках. Лучше написать так: прямоугольник (квадрат). Откуда взялся прямоугольный треугольник? А где был прямой угол? Ни в первом классе, ни во втором понятие «прямой угол» не вводилось. Почему такой скромный перечень многоугольников? А остроугольный треугольник? Тупоугольный?
3.3.8. «Измерение длин сторон фигуры» — это величины, а не геометрия. Именно поэтому сначала в содержании идет арифметика, потом величины, потом элементы алгебры, потом только геометрия.
3.3.9. Даётся формулировка: «Множества геометрических фигур, натуральных чисел в пределах ста, классификация их по признакам элементов». Множества натуральных чисел в пределах 100 — это конечно сильно! Тогда сюда же необходимо вставить: множества однозначных и двузначных чисел, четных и нечетных, однозначных и двузначных (трёхзначных) в пределах 100.
3.3.10. Формулировка «Объединение равночисленных множеств и разбиение множества на равные части, удаление равночисленных частей множества (без введения термина «множества») некорректна. Через объединение равночисленных множеств разработчики программы хотят показать смысл умножения. Однако смысл деления сформулирован неверно. Есть разбиение множества на равночисленные подмножества — это смысл деления. А вот удаление равночисленных частей множества опять вводит понятие деления, как было ранее в учебнике 2007 года таким образом:
24 : 6
24 – 6 – 6 – 6 – 6 = 0
Сколько раз вычли 6? (четыре раза).
Значит, 24 : 6 = 4
Такой способ представления смысла деления, безусловно имеет право на существование, но только как факультативный. Основным же в классической методике математики является способ представления смысла деления, как обратной операции умножения. Однако разработчики программы не дают понятия «обратная операция» ни во втором классе, перед введением умножения, ни в третьем классе (хотя в 3 классе уже поздно). При этом есть термины «обратная задача», «алгоритмы обратного действия умножения» и другие. Предлагаем перенести умножение и деление в третий класс, начать 3 класс с темы «Операции. Обратные операции», затем вводить умножение и деление. Тем более тема «Операции. Обратные операции» созвучна с темами «Цифровой грамотности».
3.3.11. Формулировку «Последовательности чисел в пределах 100, фигур, предметов» следует уточнить, так как в таком виде — это не имеет отношения к данному разделу «Множества». Это числовой материал. Если здесь имеют ввиду цепочки, то надо переформулировать так: «Последовательности (цепочки) чисел в пределах 100, фигур, предметов, логика их построения».
3.3.12. Обратные задачи даются только во 2 классе. В классической методике математики обратные задачи всегда изучались в 1 классе.
3.3.13. Формулировка «Решение составных задач разными способами» некорректна. Термина «составная задача» нет в начальной школе. ОПЯТЬ ЭТОТ НЕВЕРНЫЙ ТЕРМИН кочует из программы в программу! Задачи в два, три действия — так надо.
3.3.14. Формулировка «Решение составных задач разными способами» надо дополнить какими именно способами: Имеет смысл расширить и перечислить способы решения задач: арифметический практический метод, упорядоченный перебор, рациональный подбор, графический метод, алгебраический.
3.3.15. Формулировка «моделирование решения задач» требует уточнения. Моделируют задачу, а не ее решение. В первом классе же написано верно: «моделирование задачи». Если это задачи в 2 и более действий, разработчики имели ввиду запись решения задачи в виде числового или буквенного выражения (блиц-турниров) возможно? Тогда так и надо написать.
3.4. Базовое содержание учебного предмета «Математика» для 3 класса
Как уже было замечено выше, практически каждая формулировка базового содержания учебного предмета «Математика» для 3 класса написана с грубыми терминологическими нарушениями, а также имеются проблемы с последовательностью и целесообразностью введения ряда понятий.
3.4.1. Базовое содержание третьего класса начинается так: «Числа и величины. Арифметические действия: образование чисел в пределах 1000. Счет. Воспроизведение последовательности чисел в прямом и обратном направлении, место числа в натуральном ряду, чтение, запись, сравнение чисел, разрядный и классовый состав чисел, сумма разрядных слагаемых». Надо сформулировать так: «образование чисел в пределах 1000, название, чтение, запись чисел, последовательность чисел в натуральном ряду». Понятия «класса» здесь ещё НЕТ ! Понятие «класса» в методике математики вводится только в многозначных числах. Как и счета в обратном порядке нет, об этом писали выше, но тут дополним. Счет — это процесс установления взаимно-однозначного соответствия между элементами некоторого конечного множества и элементами отрезка натурального ряда чисел. Отрезок натурального ряда чисел — это подмножество множества натуральных чисел от 1 и до, например, пяти. То есть счет — это ТОЛЬКО 1, 2, 3, 4, 5 и никак иначе. Считаем предметы, чтобы ответить на вопрос Сколько? (узнать количество предметов) б) определить порядковый номер предмета при счете (который по счету красный круг, если считать слева направо, например). Все, что касается нумерации до 100, до 1000 и т.п, там не считаем, а называем числа в прямом и обратном порядке. То есть — не посчитайте от 200 до 215, а назовите числа по-порядку от 200 до 215.
3.4.2. Формулировка «Устные и письменные приёмы (алгоритмы) сложения и вычитания» некорректна. Приемы устных вычислений. Алгоритмы – письменных. НО! Понятие алгоритм надо было ввести. А его не ввели. Если ввели, то когда?
3.4.3. Относительно формулировки «Деление с остатком». Деление с остатком — это часть темы внетабличного деления, надо позже вводить.
3.4.4. Относительно формулировки «Деление суммы и произведения на число» возникает вопрос, зачем вводится правило деления произведения на число? Какой прием разработчики вводят на его основе? Правила деления произведения на число здесь не нужно.
3.4.5. Имеется формулировка: «Алгоритмы устных и письменных приемов умножения/деления двузначного и трехзначного числа на однозначное». Однако, двузначное число на однозначное письменно не делят.
3.4.6. Непонятна логика следующей формулировки: «Доли: чтение, запись, сравнение, наглядное изображение долей. Обыкновенные дроби, образование, чтение, запись, числитель, знаменатель, сравнение дробей с одинаковыми знаменателями с использованием наглядности.
Произведение двух одинаковых множителей, квадрат числа» исправлено частично. Во-первых, как образуются доли? Надо так: «Доли: образование чтение, запись, сравнение, наглядное изображение долей». Далее идет: «Обыкновенные ДРОБИ, сравнение дробей с одинаковыми знаменателями с использованием наглядности». Откуда появилась дробь, если речь о доле? Доли и дроби – разные понятия с точки зрения математики. А формулировка «Произведение двух одинаковых множителей, квадрат числа» откуда здесь? Это должно быть в действиях (выше).
3.4.7. Формулировку «Величины и их единицы измерения: площадь (квадратный сантиметр, квадратный дециметр, квадратный метр), длина (миллиметр,) масса (грамм), время (век), объем(емкость) (миллилитр)» в скобках добавить единицу измерения (например, для площади: 1 см2, 1 дм2, 1 м2), так принято в математике и физике, НЕ НАДО ПИСАТЬ КВАДРАТНЫЙ САНТИМЕТР, иначе учителя и разработчики учебников так и будут учить записывать: вместо 1 дм2 квадратный дециметр.
3.4.8. Даётся формулировка: «Купюры и монеты, операции с ними». Термина операции не было — его надо вводить, об этом было сказано выше.
3.4.9. Формулировка «Буквенная запись свойства 0 и 1 при умножении и делении» повторяется. Зачем? Это было во 2 классе!
3.4.10. По формулировке «Сравнение числовых выражений не более 3-х действий» имеется ряд вопросов. Что значит сравнение выражений?! Как? Сравнивать можно только значения выражений. Ну или выражения по внешнему виду? Есть скобки или нет? Но зачем про это писать в программе, это уже задача дидактического аппарата учебников.
3.4.11. По формулировке «Уравнения сложной структуры, их решение» также имеется ряд вопросов. Какие именно уравнения, какого вида?
3.4.12. Везде по тексту необходимо заменить «выражения с буквами» на «выражения с переменными» необходимо ввести термин переменная. В данной редакции программы его нет. Поэтому используют термин буквы, который явно не математический. Но для применения термина переменная нет понятийных оснований. Можно еще использовать термин — неизвестное число (именно так в уравнениях называем х).
3.4.13. Формулировка «Элементы геометрии»: геометрические фигуры и их классификация. О каких геометрических фигурах тут речь? Необходимо дописать.
3.4.14. Требует конкретного уточнения формулировка о симметричных фигурах: «Понятие симметрии относительно прямой. Симметричные и несимметричные фигуры относительно прямой». О чем речь? О фигурах, имеющих ось симметрии? (типа равностороннего треугольника, круга, квадрата и пр.?) Или о фигурах, симметричных относительно прямой? Это абсолютно РАЗНЫЕ понятия.
3.4.15. Формулировка «Площадь прямоугольника, квадрата, прямоугольного треугольника, периметр комбинированных фигур (не более двух фигур)» уже была в величинах, и там и должна быть.
3.4.16. Для чего даётся формулировка «Построение фигур по заданным значениям, изображение и построение геометрических фигур»? А как еще можно строить фигуры, кроме как по заданным значениям?
3.4.17. «Алгоритм построения прямоугольника и квадрата». Нет такого алгоритма. Надо просто: построение прямоугольника и квадрата.
3.4.18. «Формула нахождения периметра прямоугольника и квадрата. Формулы нахождения площади прямоугольника, квадрата, прямоугольного треугольника». Это — величины, НЕ элементы геометрии. Понятие формулы не введено. А надо ввести в 3 классе, когда решаются задачи не процессы (стоимость и другие). Тогда же акцентируется внимание обучающихся, что буквенная запись, например, переместительного свойства сложения или умножения, формулой не является. Раскрывается суть формулы: показать зависимость между величинами (чем выше цена, тем больше стоимость, и т.д.).
3.4.19. Почему в формулировке «Элементы куба и прямоугольного параллелепипеда (вершина, грань, ребро), развертка фигуры» перечисляются только эти объемные фигуры? Объемных фигур больше. Есть еще шар, конус, цилиндр. В 4 классе их также нет. Это необходимый материал. НЕ проходить объемные фигуры недопустимо. Ибо мир, нас окружающий, не плоский. Если объемные фигуры не проходить, то не решается задача развития пространственных представлений у младшего школьника.
3.4.20. Некорректная формулировка: «Логические простые задачи на переливание (до 4-х шагов)». Простыми в методике математики называют задачи в одно действие. В данной формулировке возможно имелось ввиду «логические задачи на планирование деятельности (до четырех шагов)».
3.4.21. Некорректная формулировка: «Задачи. Методы и способы решения задач»: задачи на умножение и деление, на зависимость между величинами, на доли. Простые и СОСТАВНЫЕ задачи в прямой и косвенной форме» Составных задач в косвенной форме не бывает.
3.4.22. Формулировку «Задачи на нахождение неизвестной стороны треугольника по известным сторонам и периметру. Нахождение неизвестной стороны прямоугольника по известной стороне и периметру» логичнее убрать в величины. Сюда надо вставить: «Задачи на нахождение неизвестного третьего слагаемого»
3.4.23. Имеется формулировка: «Решение задач на все действия в виде числового (буквенного) выражения или отдельных действий, простых задач на все действия в виде уравнения». Уравнение — это метод решения задач, в котором есть смысл только тогда, когда решить при помощи инструмента арифметики задачу невозможно! Лучше это убрать в раздел «элементы алгебры».
3.4.24. Повторяется ошибка из второго класса: «Решение составных задач разными способами и сравнение способов решения, моделирование решения задач». Моделируют задачу, а не решение! Запись решения и ответа. Почему нет задач на процессы? На движение, куплю-продажу, работу? В третьем классе им самое место. Во втором классе — рано. В четвертом — поздно.
3.5. Базовое содержание учебного предмета «Математика» для 4 класса
Частично формулировки базового содержания учебного предмета «Математика» для 4 класса были исправлены, но большинство ошибок так и остались в ТУПр. Также имеются проблемы с последовательностью и целесообразностью введения ряда понятий.
3.5.1. Базовое содержание четвертого класса начинается так: «числа и величины. Арифметические действия: чтение, запись, сравнение, разрядный и классовый состав многозначных чисел в пределах миллиона, сумма разрядных слагаемых, место числа в натуральном ряду чисел. Воспроизведение последовательности тысяч до 10 000, десятков тысяч до 100 000, сотен тысяч до 1 000 000. Число 1 000 000». Такая формулировка не совсем корректна. Следует сформулировать так: «Числа и величины. Арифметические действия»: понятие класс чисел, образование, название, чтение, запись, сравнение, разрядный и классовый состав многозначных чисел в пределах миллиона, сумма разрядных и классных слагаемых, место числа в натуральном ряду чисел».
3.5.2. Относительно формулировки «Округление многозначного числа до указанного разряда»: этот материал можно включать в учебники, но надо исключить как базовое содержание. Вопрос в целесообразности округления. Как подготовка к делению столбиком?
3.5.3. Относительно формулировки «Обыкновенные дроби». Нет смысла в этом термине. Поскольку нет объекта для сравнения — десятичных дробей. В методике математики обыкновенные дроби всегда изучаются в паре с десятичными. Перенести термин в 5 класс. А в 4 классе так: дроби. Образование дроби, чтение, запись, числитель, знаменатель.
3.5.4. ОШИБКА в формулировке: «Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями, с одинаковыми числителями с использованием наглядности. Правильные, неправильные дроби, смешанные числа». Неправильные дроби не введешь на наглядной основе. Нужно вводить новый смысл дроби — как результат деления двух натуральных чисел, и только потом говорить о неправильных.
3.5.5. Относительно формулировки «Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Процент, как 1/100 часть числа». Запятой после слова процент не надо. Процент, как 1/100 часть числа. Преобразование процентов в дроби, дробей в проценты (вида 25/100=25%, 25%=25/100) записать надо в виде дроби, а не через знак «\». В математике нет такого знака, есть дробная черта. Можно использовать только тут: 1 км\ч, т.е при обозначении скорости.
3.5.6. Формулировку «Устные и письменные (алгоритмы) вычислительные приемы умножения и деления (без остатка и с остатком)» уточнить. Алгоритмы? Или приёмы?
3.5.7. Объем геометрической фигуры, единицы измерения объема. И необходимо ВЕЗДЕ записать так: 1см3, 1м3,1 мм3.
3.5.8. Почему единицы измерения величин записаны в программе словами «миллиметр, сантиметр и пр.? Единицы измерения величин длины: 1 мм, 1 см, 1 дм, 1 м, 1 км; массы: 1 г, 1 кг, 1 ц, 1 т; объема (емкости): 1 л, 1 мл; площади: 1 мм2, 1 км2, 1 гектар, 1 ар), скорости (1 км/ч, 1 м/с, 1 км/мин, 1 м/мин). Все сокращенные единицы величин пишутся только рядом с числом. Это закон и математики и физики. Откуда появилась скорость? Где и когда вводили?
3.5.9. Даётся формулировка: «Уравнения усложненной структуры и их решение». Какой? За счет чего? Как автору писать учебник? Или это ошибка перевода с казахского?
3.5.10. ОПЯТЬ по формулировке «Формула деления с остатком». А где понятие формулы? Прежде, чем использовать понятие, надо его ввести! Формулы, используемые при решении задач на движение (на встречное движение, движение в противоположных направлениях, в одном направлении вдогонку и с отставанием). А где была просто формула пути? Сначала нужны задачи на движение одного объекта: понятие скорости, формула пути. Это обычно 3 класс. А в 4-ом уже задачи на одновременное движение.
3.5.11. По формулировке ««Элементы геометрии»: куб, прямоугольный параллелепипед и их элементы. Это было в 3 классе.
3.5.12. Формулировка «Классификация треугольников на основе углов». Поздно. Это 2 класс обычно.
3.5.13. Формулировка «Симметричные и несимметричные плоские фигуры относительно прямой. Оси симметрии плоских фигур. И это было.
3.5.14. Градусная мера угла. Это — величина, а не геометрияи символ обозначения угла (900); и необходимо использовать верный символ «°», иначе и учителя и ученики будут думать, что существует какое-то число в нулевой степени.
3.5.15. Формулировка «Логические задачи на рассуждение с конца, на упорядочивание и соответствие составлением таблиц и графов/на развитие пространственного мышления» не в своём разделе. Все, что связано с пространством – это геометрия, а не множества.
Далее будет ещё п.п.3.6.
3.6. Вопросы и ОШИБКИ в целях с цифровой кодировкой.
Сегодня не успеваю, завтра размещу продолжение.
Наталья Новосельцева
3.6. Вопросы и ОШИБКИ в целях с цифровой кодировкой.
Так как неверно сформулировано базовое содержание предмета, то эти же некорректные формулировки перекочевали и в цели, таким образом многие цели сформулированы неверно.
3.6.1. Цель 1.1.1.1 «понимать образование натуральных чисел/числа нуль, различать цифру и число, считать в прямом и обратном порядке в пределах 10/20, определять место числа в натуральном ряду чисел/на числовом луче» — ОШИБКА: счета в обратном порядке нет, ещё раз внимательно прочитайте п.п. 3.4.1. Такая же ОШИБКА в целях 2.1.1.1 и 3.1.1.1.
3.6.2. Цель 1.1.1.2 «строить графическую модель двузначных чисел от 11 до 20». А почему мы начинаем строить модель числа сначала двузначных чисел? И как мы можем её построить без модели однозначного числа (точка)? Цели 2.1.1.2, 3.1.1.2, 4.1.1.2 состоят из двух частей: строить графическую модель и использовать таблицу разрядов. Возможно лучше разделить каждую из этих целей на отдельную цель. И в 4 классе строить графическую модель числа проблематично. Возможно вместо «строить» использовать «обсуждать различные модели многозначных чисел»?
3.6.3. Цель 1.1.1.3 «читать, записывать и сравнивать однозначные числа и число 10/числа от 11 до 20, определять состав однозначных чисел из двух слагаемых/ определять разрядный состав чисел в пределах 20, раскладывать на сумму разрядных слагаемых» ОШИБКА в том, что в методике математики понятие разряда вводится в нумерации 21-100. Здесь пока рано. Цель 2.1.1.3: во втором классе нет смысла в римских числах, об этом было выше.
3.6.4. Цели группы *.1.1.5 весьма разнородные. В первом классе: «находить половину количества 2 (4, 6, 8, 10) предметов путем практического действия», а в 4 классе: «различать, читать, записывать, отмечать на числовом луче правильные, неправильные дроби, смешанные числа, сравнивать обыкновенные дроби с одинаковыми знаменателями/ одинаковыми числителями с использованием наглядности». Вопросы: почему не отмечаем на числовом луче числа в 1, 2, 3 классе? Число становится числом, когда мы его поселяем на числовом отрезке (луче). В 3 классе про доли и дроби писали выше. Необходимо откорректировать эти цели.
3.6.5. Цель 4.1.1.6 «понимать, что процент — сотая часть целого, использовать для обозначения процента символ % / записывать преобразование процентов в дроби, дроби в проценты (15/100=15%,15%=15/100)» недостижима, так как не ввели понятие «целое и части». И необходимо дроби писать исключительно через дробную черту. Знак «\» в тексте программы в записи дробей использовать нельзя.
3.6.6. Цели подраздела «1.2 Операции над числами». Основная проблема в том, что понятие «часть и целое» надо ввести в 1 классе ещё в дочисловом периоде. На примере подраздела 1.2 это четко видно. Вот в 3 классе появляется цель 3.1.2.1 «понимать, что дроби — это одна или несколько равных частей целого». Извините, а где было введено понятие «часть и целое»? НИГДЕ! Значит и эта цель будет недостижима. Проблема в том, что часть программы написана научным языком, а другая часть антинаучным. Сложение и вычитание в данном подразделе написаны как раз научным языком: «1.1.2.1 понимать действие сложения как объединение множеств, не имеющих общих элементов и вычитание как удаление части множества, использовать символы «+», «-», «=»» Но может быть стоит написать «БЕЗ ВВЕДЕНИЯ ПОНЯТИЯ «МНОЖЕСТВО» и связанной с ним терминологии»? Иначе авторы учебника и учителя опять в 1 классе начнут рисовать множество, писать в учебнике «множество», «элементы множества», «объединение множеств», и прочее из программы «Математика. 7 класс». К сожалению, так было в учебниках первого класса 2016 года. В цели 2.1.2.1 «понимать и использовать умножение, как сложение одинаковых слагаемых и деление как разбиение множества элементов по содержанию, на равные части, использовать знаки «⋅» и «:»» имеется своя проблема. Мы о ней писали выше. См. п.п. 3.3.10. Эта проблема будет повторяться не раз, так как НЕ введено понятие «ОПЕРАЦИЯ, ОБРАТНАЯ ОПЕРАЦИЯ». Ведь деление — это обратная операция умножения, а сложение и вычитание — это взаимообратные операции. Те, кто занимаются по учебникам Петерсон Л.Г. знают, как легко можно ввести понятия «операция, обратная операция», детям эта тема очень даже нравится. И раз уж мы заговорили о научности, предлагаем понятие «СЧЕТ» ввести также через научную терминологию, чтобы НИ У КОГО больше не осталось сомнений, что СЧЁТ это 1, 2, 3, 4, 5, … И ВСЁ! НЕТ СЧЁТА В ОБРАТНОМ НАПРАВЛЕНИИ (Порядке), нет понятия «обратный счёт» в математике. Предлагаем написать в программе так: «Счет — это процесс установления взаимно-однозначного соответствия между элементами некоторого конечного множества и элементами отрезка натурального ряда чисел: 1, 2, 3, 4, 5 …». Кроме того, НЕЛЬЗЯ подменять вычисления понятием «счет». Вычисления: 3 + 4 = 7, 5 · 3 = 15, и пр., а счет: 1, 2, 3, 4, 5…
К сожалению, в ГОСО сейчас также НЕВЕРНАЯ формулировка, понятие «вычисления» заменили понятием «счет». При обсуждении ГОСО мы обращали внимание на эту ОШИБКУ, но она так и осталась в ГОСО. Вот эта ОШИБКА: «Задачи начального образования: 1) формировать навыки грамотной речи, чтения, письма и СЧЕТА». Необходимо исправить так: «формировать навыки грамотной речи, чтения, письма, вычислительные навыки». Также из ГОСО необходимо ИСКЛЮЧИТЬ понятие «множество» в формулировке Главы 3. «Требования к уровню подготовки обучающихся». Зачем в начальной школе вводить понятия алгебры 7 класса?
3.6.7. Группа целей *.1.2.2 также содержит ОШИБКИ. Цель 1.1.2.2 «понимать, что сложение и вычитание — взаимообратные действия, определять зависимость между компонентами, результатами этих действий». Необходимо исправить так: «понимать, что сложение и вычитание — взаимообратные действия, определять зависимость между компонентами и результатом действий сложения и вычитания». Компонентов обычно два (слагаемое, слагаемое; уменьшаемое, вычитаемое), а результат всегда ОДИН, поэтому в единственном числе. Соответственно в цели 2.1.2.2 «понимать, что умножение и деление взаимообратные действия, определять зависимость между компонентами, результатами этих действий; особые случаи умножения и деления на 0 и 1, невозможность деления на нуль» необходимо исправить так: «определять зависимость между компонентами и результатом действий умножения и деления». А если ввести понятие «Операция», то исправленный вариант звучит так: « 2.1.2.2 понимать, что умножение и деление взаимообратные операции, определять зависимость между компонентами и результатом действий умножения и деления; особые случаи умножения и деления на 0 и 1, невозможность деления на нуль» необходимо исправить так: «определять зависимость между компонентами и результатом действий умножения и деления».
3.6.8. Группа целей *.1.2.3 также содержит ОШИБКИ. Например, цель 1.1.2.3 «применять переместительное свойство сложения/ свойство 0 и 1 при сложении и вычитании». Формулировка «свойство 1 и 0 при сложении и вычитании» неверна. При сложении и вычитании имеются ТОЛЬКО свойства действий с нулем. С единицей свойства есть только с умножением и делением. Цель для 2 класса – надо удалить знак «-» в конце. Вообще надо заметить, что в тексте ТУПр ОТСУТСТВУЕТ КОРРЕКТОРСКАЯ работа. Это видно по знакам «тире», «минус», «дефис». НЕОБХОДИМО ИСПРАВИТЬ ПО ВСЕМУ ТЕКСТУ ТУПр. Кухонным языком: длинная черта — это тире, короткая — это дефис, а средняя между ними — минус: «тире —», «дефис -», «минус – ».
ПРОДОЛЖЕНИЕ СЛЕДУЕТ
Наталья Новосельцева
2.1.4. Ожидаемые результаты (п.4) в программе есть, но они почему-то в параграфе 3, который называется «Цели обучения, ориентированные на ожидаемые результаты» В формулировке: «В типовой учебной программе достижение ожидаемых результатов обучения обеспечивается системой целей обучения, которые служат основой для определения содержания учебного предмета», есть логическая неточность (инверсия) в причинно-следственной связи между целями, результатами и содержанием. Проблема заключается в следующем: Формулировка говорит, что «цели обучения… служат основой для определения содержания». Это верно. Но далее мы наблюдаем инверсию РЕЗУЛЬТАТА и ЦЕЛИ. Формулировка говорит, что «достижение ожидаемых результатов… обеспечивается системой целей». Это логически некорректно или, по крайней мере, избыточно.
КОРРЕКТНАЯ ЛОГИЧЕСКАЯ ЦЕПОЧКА выглядит так. В стандартной педагогической логике причинно-следственная связь ВСЕГДА имеет следующую строгую последовательность:
Цели Содержание Процесс обучения Ожидаемые результаты.
Цель (для чего?) — это намерение или желаемый конечный пункт, который мы хотим достичь (например, развитие логического мышления). Содержание (Что?) — определяется Целью. Ожидаемые Результаты (Что получим?) — это формулировка Цели в измеримых терминах после завершения обучения. Следовательно, цели не «обеспечивают достижение результатов» — ожидаемые результаты являются конкретизацией и критерием оценки достижения Целей. Достижение результатов обеспечивается Содержанием и Процессом обучения, а не самими Целями. Объясним кухонным языком: мы хотим сварить суп – это наша цель! Ура, я сыт, потому что я поставил такую удивительно правильную цель! Мне не надо знать, как варить (содержание) и мне не надо варить (процесс)! Я сыт уже от того что поставил цель!
Предлагаем следующую формулировку: «Система целей обучения служит основой для определения Содержания учебного предмета, а ожидаемые результаты обучения являются измеримыми критериями достижения этих целей». Также предлагаем дать определение, что мы называем Ожидаемыми результатами.
Ожидаемые результаты обучения — это ключевой элемент современного планирования учебного процесса. Это конкретные, измеримые, наблюдаемые и оцениваемые утверждения, которые описывают, что именно обучающийся должен знать, понимать и уметь делать (или в каком качестве измениться) после завершения определённого этапа обучения (темы, раздела, курса). Они всегда формулируются с помощью глаголов действия, которые можно проверить (например, «Умеет выполнять…», «Объясняет…», «Анализирует…», а не абстрактных понятий («Понимает…»). Критерии успеха служат критерием для оценки эффективности программы и работы учителя. Именно ОРО ложатся в основу разработки заданий для суммативного и формативного оценивания.
В контексте типовой учебной программы, ожидаемые результаты — это конкретный список того, что ученик должен продемонстрировать, завершив, например, курс математики 1 класса, и они прямо вытекают из общих Целей предмета.
Кроме того, нет четкого списка «предметных» и «метапредметных» результатов. Что касается метапредметных результатов их надо не просто перечислить, как это сделано в других ТУПр, но надо ещё и классифицировать: регулятивные, познавательные, коммуникативные и пр.)
2.2. Наличие долгосрочного плана.
Согласно Приказа № 221 «Об утверждении Правил организации работы по экспертизе и апробации типовых учебных планов, типовых учебных программ дошкольного воспитания и обучения, начального, основного среднего, общего среднего образования» https://adilet.zan.kz/rus/docs/V2100022776 (в который были внесены актуальные изменения в 2025 году) понятие «Долгосрочный план» отсутствует. Однако в программах начального уровня образования он почему-то сохранился. Считаем это нарушением. Это принципиально важно: долгосрочный план многие воспринимают буквально как образец календарно-тематического плана. Например, до сих пор многие учителя думают что, для того чтобы достичь цели 1.1.2.4 «выполнять устно сложение и вычитание без перехода через десяток однозначных чисел / двузначного и однозначного числа в пределах 20/ сложение и вычитание десятков» (звёздочки* НЕТ – значит ВСЁ ЭТО ОСВОИТЬ) надо на одном уроке сразу всё объяснить: и сложение – вычитание типа «4 + 3; 7 – 3», и типа «10 + 4; 15 – 5», и типа «10 +30».
В программе должны быть только цели (система целей).
Наталья Новосельцева
3.6.9. Цель «3.1.1.5 демонстрировать образование, читать, записывать доли/ обыкновенные дроби, сравнивать доли/ дроби с одинаковыми знаменателями с использованием наглядности» в части формулировки «обыкновенные дроби» МЕТОДИЧЕСКАЯ ОШИБКА. Когда ввели термин обыкновенные дроби? В этом термине есть смысл только тогда, когда вводится понятие десятичные. А «десятичные» НЕ вводятся в ни в 3 классе, ни в 4 классе. Значит и «обыкновенные» дроби вводить НЕЛЬЗЯ.
3.6.10. Цели группы *.1.2.5 о таблицах сложениия и умножения. Остаётся спорным вопрос о разделении изучения таблицы умножения по ЧАСТЯМ: во втором классе изучают таблицу умножения на 2, 3, 4, 5, а в 3 классе на 6, 7, 7, 9. Необходимо перенести изучение таблицы умножения целиком во 2 класс либо в 3 класс.
3.6.11. Цели групп *.1.3.3 и *.1.3.4. Если в базовом содержании есть термин «действия с именованными числами», то почему тут такие сложные формулировки? «Выполнять действия над значениями величин» следует заменить на: «Действия с именованными числами», это гораздо понятнее детям. Для целей группы *.1.3.4 «преобразовывать единицы измерения длины» заменить на «преобразовывать именованные числа с единицами измерения длины…» и т.д во всех классах. Рассмотрим цели для каждого класса. Для 2 класса: «2.1.3.3 сравнивать значения величин длины: 1см, 1дм, 1м/ массы: 1кг, 1ц/ объема (емкости): 1л/ времени: 1ч, 1мин, 1сут, месяц, год и выполнять действия сложения/ вычитания/ умножения/ деления над значениями величин». Во 2 классе вычисления в пределах 100. Однако, когда мы проводим действия с именованными числами существует правило, согласно которому необходимо перевести более мелкие единицы величин в более крупные, например 40 см + 55 см = 105 см = 1 м 5 см. Если вводим «год», то тогда надо уметь читать, например, «2025 год». В 3 классе вычисления в пределах 1000, но … сколько миллиметров в 1 км? В 4 классе вычисления в пределах 1000000, но … 1 кубический метр — это 1 000 000 000 кубических миллиметров. Данную группу целей необходимо дополнить, чтобы ограничить вычисления во 2 классе в пределах 100, в 3 классе в пределах 1000, в 4 классе в пределах 1 000 000.
Наталья Новосельцева
4. К ЧЕМУ ПРИВЕЛА «СПИРАЛЬНОСТЬ» В МАТЕМАТИЧЕСКОМ ОБРАЗОВАНИИ.
Ранее в ТУПр по разным предметам было сказано: «Цели обучения учитывают принцип спиральности в обучении». Радует тот факт, что в данной редакции программы этот постулат отсутствует. Однако и концентрический принцип построения ТУПр также НЕ обозначен. Это принципиально! Более того в Параграфе 3. (Цели обучения, ориентированные на ожидаемые результаты по учебному предмету) имеется таблица в которой представлена система целей как раз в спиральной концепции. Иначе чем объяснить, почему повторяются одни и те же формулировки, единицы величин и пр.?
4.1. Необходимо обязательно написать в ТУПр «Математика» начальной школы: «Содержание учебного материала расположено в соответствии с концентрическим принципом: сначала дочисловой период, затем числа в пределах 10, следующий концентр числа в пределах 100, затем концентр 1000, затем концентр многозначных чисел».
4.2. Аргументация концентрического принципа в начальном курсе математики. Утверждение Типовой учебной программы о том, что цели обучения в начальной математике учитывают спиральный принцип, является методически спорным. Начальный курс математики традиционно и эффективно строится по концентрическому принципу. Концентрический принцип построения программы (от лат. concentrum — сосредоточенность) подразумевает полное изучение некоторого объёма материала в определённых рамках (концентре), после чего тот же материал изучается вновь, но в новых, расширенных границах. Именно в концентрическом содержании мы наблюдаем завершённость каждого этапа (концентра), например, полное освоение нумерации и арифметических действий в пределах 10 (первый концентр). Именно в концентрической математике мы наблюдаем перенос знаний (Генерализация), например, уже освоенные алгоритмы и свойства (например, переместительное свойство сложения) переносятся на новый, более крупный концентр: в пределах 100, затем в пределах 1000 и т.д. Именно на концентрической математике можно освоить суть нумерации: Например, если ученик умеет складывать 4 и 2, то он точно так же складывает 4 десятка и 2 десятка, и так далее. Только концентрическая математика способна содержательно представить алгоритмизацию. Например, алгоритм деления на двузначное число (288:12) полностью повторяется при делении на трёхзначное число (2880:120), требуя лишь коррекции в записи и количестве знаков. Концентрический принцип обеспечивает прочность усвоения (материал не бросается на полпути); осознанность (алгоритмы изучаются целиком, а не фрагментами); Системность (понятия и действия в новом концентре опираются на прочный фундамент предыдущего). Методика преподавания математики, особенно в начальной школе, традиционно опирается на концентризм. Это зафиксировано в работах многих классиков педагогики и методики: работы М. И. Моро, М. А. Бантовой, Н. Б. Истоминой, Т.К. Оспанов и других ведущих методистов однозначно описывают построение начального курса арифметики по концентрам (десяток, сотня, тысяча, многозначные числа).
4.3. Остановимся подробнее на опасности спирального принципа в начальной школе. Спиральный принцип (от англ. spiral curriculum, введен Дж. Брунером) означает, что тема постоянно повторяется на разных этапах обучения, но каждый раз с усложнением и углублением. Хотя спиральный принцип хорош для изучения сложных, абстрактных или постоянно развивающихся наук (например, физики), его чрезмерное использование в начальной математике опасно. Построение программы в спиральном виде привело к нарушению методики, нарушению последовательности и повторам в изучении тем порой в одном и том же классе: одни и те же цели встречались сразу в нескольких четвертях одного и того же класса. В отличие от концентризма, где концентр закрыт и материал усвоен, спираль оставляет ощущение незавершённости. Арифметика начальной школы — это наука о точной логике, алгоритмах и правилах. В ней нет места постоянному «переоткрытию» или «углублению» базовых фактов (2 + 3 всегда равно 5). Эффективнее освоить действие в одном концентре (до 10), чтобы затем применить его как готовый инструмент в следующем концентре (до 1000).
Таким образом, использование термина «спиральность» в программе по начальной математике является методической ошибкой. Целесообразно использовать термин «концентрический принцип», который обеспечивает прочность, системность и логическую последовательность, необходимую для формирования базового математических знаний младших школьников.
Жақсы
Новосельцева Н.В., кандидат педагогических наук, педагог-мастер (учитель начальных классов с пед.стажем 32 года)
ТУПр «Математика. 1-4 класс».
Замечания и предложения по тексту Типовой учебной программы «Математика» для 1-4 классов уровня начального образования.
1. Соответствие ГОСО.
1.1. Ценности. Согласно п.п. 9.2. Приказа № 221 «Об утверждении Правил организации работы по экспертизе и апробации типовых учебных планов, типовых учебных программ дошкольного воспитания и обучения, начального, основного среднего, общего среднего образования» https://adilet.zan.kz/rus/docs/V2100022776 (в который были внесены актуальные изменения в 2025 году), ТУПр должна полностью соответствовать ГОСО. Но, например, слово «ценности» употребляются в ТУПр лишь два раза. Первый раз — стр. 1 говорится о базовых ценностях, но они не перечисляются. Второй раз — стр. 3: «Обучающиеся учатся видеть в математике не только средство для решения задач, но и инструмент для понимания мира, развития критического мышления и ценностей, таких как логика, честность и усердие». Основная неточность касается списка, который приводится как пример ценностей, формируемых математикой: «логика, честность и усердие».
Логика не является ценностью в строгом смысле. Логика — это инструмент познания, метод мышления, объект изучения (в математике) или качество мышления (логичность). Это способ достижения цели, а не сама значимая цель (ценность) личности или общества. Математика способствует формированию логического мышления как качества личности.
Честность является моральной/этической ценностью. Она, безусловно, важна в образовательном процессе (честность при выполнении заданий, в оценке знаний), но её связь с предметом математики менее прямая, чем, например, с трудом или общением. Математика способствует развитию точности и объективности, которые служат основой честности.
Усердие также не является ценностью, а скорее качеством личности, чертой характера или трудовой установкой (например, трудолюбие, ответственность). Это способ выполнения работы.
Таким образом, наблюдается неверный список ценностей. Сами же ценности ГОСО не нашли отражения в Программе. Предлагаем о ценностях сказать ДО ЦЕЛИ и полностью их перечислить. Необходимо написать так:
Типовая учебная программа по учебному предмету «Математика» обеспечивает реализацию единства обучения и воспитания, формирование у обучающегося мировоззрения, нравственных ориентиров посредством содержательных концептов, основанных на базовых ценностях, установленными в ГОСО:
1) независимость и патриотизм;
2) единство и солидарность;
3) справедливость и ответственность;
4) закон и порядок;
5) трудолюбие и профессионализм;
6) созидание и новаторство.
1.2. Содержательные концепты.
В ТУПр «Математика» лишь упоминается о содержательных концептах. Но они даже НЕ перечисляются. Содержательные концепты необходимо перечислить, объяснить каждый. Авторы увлеклись идеей «Сквозных тем» и нашли слова для пояснения их значимости (что на самом деле условно и не измеримо), однако оставили без внимания содержательные концепты.
Для понимания роли содержательных концептов необходимо их расписать по «подтемам», чтобы учителя понимали какое именно содержание подходит именно первоклассникам. Это вообще необходимо сделать во всех ТУПр, не только для начальной школы. А то получается, что концепт «Родина» есть и в 1 классе, и в 9 классе. А какая между ними содержательная разница? Авторы программы недооценивают роль концептов и переоценивают роль сквозных тем. Если есть концепты, то как они будут коррелироваться со сквозными темами?
1.3. Ключевые компетенции.
В ГОСО имеется список ключевых компетенций ученика начальной школы. Однако в ТУПр «Математика» почему-то другой список. Более того, это два разных списка. Вот стр 1: «Содержание типовой учебной программы по учебному предмету «Математика» ориентируется на формирование у обучающегося компетенции личностного самосовершенствования, языковых и коммуникативных, культурно-социальных, трудовых, учебно-познавательных, исследовательских, информационно-технологических ключевых компетенций по завершению начального образования». А вот список со страницы 11: «Ожидаемые результаты освоения содержания начального образования ориентируют на формирование у обучающегося гражданско-патриотических, этических, социально-нравственных, творческих ключевых компетенций и навыков самоорганизации».
Термины ключевых компетенций ТУПр кардинально отличаются от перечисленных в ГОСО. Необходимо их удалить. Тем более что они не соответствуют возрастным особенностям первоклассников и написаны некорректно.
Проблемы и противоречия с перечислением ключевых компетенций (стр. 1):
Избыточность. Перечисление включает все или почти все ключевые компетенции, существующие в педагогике (…личностного самосовершенствования, языковых и коммуникативных, культурно-социальных, трудовых, учебно-познавательных, исследовательских, информационно-технологических ключевых компетенций). Если все эти компетенции формирует только математика, то другие предметы становятся ненужными. Это размывает специфику предмета.
Языковые и коммуникативные. Хотя математика требует коммуникации (объяснение решения) и языка (математического), выделять их как приоритет для математики, а не для, например, русского языка, некорректно. Они общепредметны.
Культурно-социальные. Математика вносит вклад в культуру, но эта формулировка слишком широка и неспецифична для предмета.
Трудовые. Трудовые компетенции (например, навыки работы с инструментом) не являются прямым и основным ожидаемым результатом обучения математике в начальной школе.
Исследовательские. Формируются лишь в базовом, начальном виде (простейшее наблюдение, выдвижение гипотезы). Выделять их как ключевые результаты в 1-4 классах излишне амбициозно и неточно.
Вывод по стр 1: Список выглядит как шаблонный перечень всех компетенций, механически скопированный в программу по математике, без выделения приоритетных для этого предмета (например, логико-математические, учебно-познавательные, информационно-технологические).
Проблемы и противоречия с перечислением ключевых компетенций (стр. 11):
Гражданско-патриотические. Это ценностно-мировоззренческие компетенции, которые формируются всей системой обучения и воспитания предметами вроде «Познание мира» или истории. Их включение в ожидаемые результаты именно освоения содержания математики в 1–4 классах является методической ошибкой.
Этические, социально-нравственные. Как и выше, это компетенции, связанные с моральным развитием, а не с конкретным содержанием предмета (числа, фигуры, вычисления). Они общешкольные, но не могут быть ключевым ожидаемым результатом математической программы.
Противоречие между Цитатами (стр.1 – стр 11). Цитата стр. 1 говорит о Компетенциях личностного самосовершенствования, языковых, ИКТ и т.д., которые формируются содержанием программы. Цитата стр.11 говорит о Гражданско-патриотических, этических компетенциях, на которые ориентированы ожидаемые результаты. Должна быть логическая связь: содержание процесс ожидаемый результат. Здесь же наблюдается две параллельные, слабо связанные группы компетенций.
Отсутствие математической специфики. В обоих списках отсутствует или не выделена главная предметная компетенция, которую должна формировать математика в начальной школе: учебно-познавательная в части логического, алгоритмического и пространственного мышления, а также базовые вычислительные навыки.
Вывод. Наблюдается терминологическая путаница: Термины «ключевые компетенции» и «навыки» используются как взаимозаменяемые, а перечисление на стр. 1 дублирует функции других предметов, не выделяя ядро математического образования (развитие мышления, формирование вычислительных и алгоритмических навыков).
В результате, программа не даёт чёткого ответа, какие конкретные компетенции, являющиеся следствием изучения именно математики, должен приобрести ученик начальной школы.
Предложения:
Необходимо продублировать список, предлагаемый в ГОСО, заменив глаголы существительными:
Содержание учебного предмета «Математика» направлено на формирование у обучающихся 1-4 классов ключевых компетенций:
• проявление уважения к государственным символам Республики Казахстан, истории, культуре и традициям страны;
• выстраивание позитивных отношений с окружающими, умение работать в команде и достигать общих целей;
• проявление честных поступков в жизненных ситуациях, осознание ответственности за свои действия;
• готовность действовать в соответствии с общепринятыми нормами и правилами в обществе;
• демонстрация навыков самоорганизации и самоконтроля;
• проявление творческого подхода в учебной и повседневной деятельности.
Приведенный список ключевых компетенций из Государственного образовательного стандарта Республики Казахстан (ГОСО) носит общевоспитательный и социально-нравственный характер. Для их адаптации к предмету «Математика» в начальной школе необходимо интерпретировать их через призму логики, точности, алгоритмов и практического применения предмета. Например, в ГОСО: «Проявление уважения к государственным символам, истории, культуре и традициям страны». В программе надо написать так: «Использование математики для понимания культурного контекста: (Например, расчёт бюджета для национального праздника, использование орнаментов в геометрии, работа с национальной валютой). Данная компетенция общевоспитательная. Математика обеспечивает практические навыки для её реализации».
Кроме того, необходимо дать разъяснение в каждой ТУПр-е, что именно мы называем ключевыми компетенциями, что именно называем предметными и метапредметными, чтобы в дальнейшем не было разночтений.
Новосельцева Н.В., кандидат педагогических наук, педагог-мастер (учитель начальных классов с пед.стажем 32 года)
1.4. СКВОЗНЫЕ ТЕМЫ
Остановимся подробнее на «сквозных темах». В ТУПр имеется полная таблица со сквозными темами. Однако первое противоречие – эти темы давно перестали быть сквозными. «Сквозные» — значит они должны быть в КАЖДОЙ программе по КАЖДОМУ предмету ОДИНАКОВЫЕ в тот или иной промежуток времени. Однако если посмотреть все другие программы, например, естествознание – совершенно другие РАЗДЕЛЫ, иностранные языки – другие сквозные темы. В представленном тексте, который описывает задачи обучения математике и использование сквозных тем, есть методологические неточности и риски для освоения именно математических понятий в начальной школе. Рассмотрим это подробнее на конкретных математических примерах.
Возникает вопрос, почему о сквозных темах написано сразу после задач начального курса математики? Ответ очевиден: чтобы показать якобы ЗНАЧИМОСТЬ сквозных тем. Но так ли она велика, эта «значимость»? Давайте разберёмся по порядку. Перечень задач (пункты 1–7) демонстрирует ту же проблему, которую мы обсуждали ранее: избыточное смешение предметных и общепедагогических целей. Математические задачи (Пункт 1 и 2): Сформулированы верно и четко: формирование знаний, умений, навыков (вычислительных, измерительных), использование терминов и алгоритмов. Это ядро обучения математике. Психологические/Когнитивные задачи (Пункт 3 и 5): Верно включают развитие мышления (логического, наглядно-образного) и критического мышления. Это естественная функция математики. Общепедагогические/Воспитательные задачи (Пун. 4 и 6): Включают навыки самостоятельной работы, саморегулирования, поиска информации, коммуникативные и социальные навыки (работа в команде, уважение мнения). Хотя они важны, их чрезмерное выделение в задачах по конкретному предмету (математике) размывает фокус и создает ощущение, что математика — это лишь инструмент для развития этих социальных качеств. Связующие задачи (Пункт 7): Внутрипредметные и межпредметные связи — это корректная и важная методическая задача. НО верно ли, что для реализации задач 6 и 7 нужны сквозные темы?
Да, это логично с методической точки зрения, но не является единственным способом. Однако есть серьёзный риск, что это помешает освоению чисто математических понятий.
Проблема не в самой идее контекста, а в преобладании контекста над математическим содержанием. Смещение фокуса. Темы («Здоровое поколение», «Что такое хорошо, что такое плохо», «Быть человеком») настолько обширны и абстрактны, что математика может превратиться в обслуживающий предмет. Учитель может тратить слишком много времени на обсуждение этики или культуры, а не на освоение вычислительных навыков (умножения, деления) или геометрического материала (его и так мало в программе!). Дефицит математической практики. Для прочного освоения математических понятий в начальной школе (особенно вычислительных навыков) требуется многократное, целенаправленное повторение и тренинг (алгоритмическая практика). Сквозная тема может ограничить количество и сложность чисто математических примеров, делая их слишком привязанными к «жизненной» ситуации. Искусственность связей. Связь между некоторыми темами и математикой может быть притянута за уши. Например, как эффективно интегрировать тему «Преданья старины глубокой» или «В мире искусства» с углубленным изучением, например, деления многозначных чисел или дробей? Связь может стать поверхностной (например, «давайте посчитаем, сколько лет этой легенде»), что не способствует глубокому освоению математики.
ВЫВОД. Использование сквозных тем — это современный и полезный методический инструмент, который помогает мотивации и реализует межпредметные / социальные задачи, но не на математическом содержании. Не надо забывать, что в начальной школе главный приоритет — это фундаментальные математические знания и навыки (Пункт 1). ПРЕДЛОЖЕНИЕ: УДАЛИТЬ СКВОЗНЫЕ ТЕМЫ ИЗ МАТЕМАТИЧЕСКОГО СОДЕРЖАНИЯ. Сквозные темы могут лишь выступать контекстом и мотивацией для систематического, углубленного освоения математики, а не подменять или сокращать его. Если в погоне за «социализацией» и «жизненными связями» будет упущен прочный вычислительный навык и навык логического рассуждения, цели программы не будут достигнуты.
В ГОСО имеются содержательные концепты, которые НЕ ПРИВЯЗАНЫ к какому-то разделу или периоду обучения, давайте использовать их, этого достаточно! А сквозные темы необходимы ИСКЛЮЧИТЕЛЬНО для языковых предметов (изучение родного, второго и иностранного языков).
Новосельцева Н.В., кандидат педагогических наук, педагог-мастер (учитель начальных классов с пед.стажем 32 года)
3. Терминоносистема.
В марте 2023 года мы работали в качестве экспертов, проводили экспертизу ТУПр «Математика». Наша группа направила авторам список ошибок, в том числе терминологических. Радует, что многое из этого списка было исправлено. (Это легко было сделать, так как мы предложили верные формулировки). Однако, открыв ТУПр 2025 года, мы видим, что некоторые терминологические ошибки остались в целях. Далее мы упускаем подробное объяснение, оставляем только ФАКТЫ.
3.1. Разделы и подразделы предмета.
Это п.п.6, и он сформилирован в программе так: Содержание учебного предмета содержит следующие разделы и подразделы:
1. Числа и величины. Арифметические действия:
1.1 Натуральные числа и число 0. Дроби;
1.2 Операции над числами;
1.3 Величины и их единицы измерения.
2. Элементы алгебры:
2.1 Числовые выражения и равенства, буквенные выражения;
2.2 Равенства и неравенства. Уравнения.
3. Элементы геометрии:
3.1 Геометрические фигуры и их классификация;
3.2 Изображение и построение геометрических фигур.
4. Множества. Элементы логики и статистики:
4.1 Множества и операции над ними;
4.2 Высказывания;
4.3 Последовательности;
4.4 Комбинации предметов;
4.5 Элементы статистики.
5. Задачи. Методы и способы решения задач:
5.1 Задача и математическая модель.
Затем сразу следует п.п.7, который ОТДЕЛЬНО разъясняет раздел «Множества. Элементы логики и статистики». Возникает вопрос: Зачем тут особые разъяснения лишь одного раздела? Тогда надо либо каждый раздел разъяснять, либо удалить п.п.7.
ОШИБКИ в формулировках разделов.
Из раздела «Задачи» убрали подраздел «Математический язык», это правильно. НЕПРАВИЛЬНО его вообще удалить! Математический язык относится к алгебраическому материалу — цифры, буквы латинского алфавита, скобки, знаки арифметических действий… — это «алфавит» предмета «Математика». Из его элементов мы составляем «слова» (математические выражения), а из слов «предложения» (равенства и неравенства).
В разделе «Элементы алгебры» неверно сформулированы подразделы. Раздел «2.1 Числовые выражения и равенства, буквенные выражения»: надо удалить слово «равенства». Во-первых, математическое выражение не имеет знака «=», во-вторых, второй подраздел «2.2 Равенства и неравенства. Уравнения.» содержит равенства, этого достаточно. Не надо писать «равенство» два раза. Но перед этими двумя подразделами НАДО ВСТАВИТЬ «Математический язык», потому что именно на основе математического языка ученики поймут, что такое выражение, что такое равенство, чем они отличаются, что такое уравнение и т.д.
Подраздел «1.3. 1.3 Величины и их единицы измерения» не содеждит операций с именованными числами, судя по формулировке. Это неверно, так как такие операции должны быть в начальном курсе математики.
3.2. Базовое содержание учебного предмета «Математика» для 1 класса:
3.2.1. Формулировка «свойство 1 и 0 при сложении и вычитании» неверна. При сложении и вычитании имеются ТОЛЬКО свойства действий с нулем. С единицей свойства есть только с умножением и делением.
3.2.2. В формулировке «Запись, чтение, сравнение, графические модели и десятичный (разрядный) состав двузначных чисел до 20» сказано о разрядном составе, однако в методике математики понятие разряда вводится в нумерации 21-100. Здесь пока рано.
3.2.3. Необходимо переформулировать данное предложение: «Величины (длина, масса, емкость (вместимость), время) как свойство объектов (предмета, явления, процесса, геометрической фигуры)». Процессы изучаются, когда будет умножение, пока в первом классе никаких процессов нет. Оставить так: (предмета, явления, геометрические фигуры).
3.2.4. Формулировка «Составление, моделирование задачи в одно действие (рисунок, схема, краткая запись) и ее решение (выражение), запись решения и ответа» требует уточнения. Нельзя этот важный пункт программы отдавать на откуп авторам учебников. Тогда в каждом учебнике будет по-разному. Должно быть четко указано моделирование в виде условного рисунка, схемы в отрезках, краткой записи с опорными словами, в виде выражения (выражение — это тоже модель задачи, только знаковая, вот тут и применяется математический язык.).
3.2.5. В первом классе сначала надо ввести понятие высказывания. Поэтому формулировку «Верные и неверные утверждения о предметах окружающего мира, о числах, числовых и буквенных равенствах, единицах длины и соотношений между ними» написать так: «Высказывания. Верные (истинные) и неверные (ложные) высказывания об явлениях в природе, о числах, равенствах и неравенствах». Если понятие высказывание не введено, то его применять неправомерно. Любое понятие должно быть определено, то есть раскрыт его смысл. «Верные (истинные) и неверные (ложные) высказывания» — так исправить по всему тексту. Словосочетание «Верные и неверные утверждения» к математике НЕ ОТНОСИТСЯ.
3.3. Базовое содержание учебного предмета «Математика» для 2 класса:
Базовое содержание второго класса начинается так: «числа в пределах 100», 100 – это уже трёхзначное число, однако терминов «однозначное и двузначное число», как объект изучения детьми нет вообще ни в 1 ни во 2 классе.
3.3.1. Формулировка «Счет. Воспроизведение последовательности чисел в прямом и обратном направлении» не корректна. Эта грубейшая ошибка кочует у нас из программы в программу. Очень часто на уроке учителя допускают именно эту ошибку, говоря «Обратный счет». Счета в обратном направлении не бывает, как и в обратном порядке. Счет может быть только в прямом порядке, ибо его цель — установить сколько? или который по счету? В обратном порядке мы называем числа.
3.3.2. Относительно формулировки «римская нумерация чисел в пределах 20» возникает вопрос, какой смысл в изучении римских чисел? В римской нумерации как дидактическом задании имеется две функции: 1) разведение понятия число-цифра, и тогда это разумно вводить в первом десятке; 2) демонстрация экономичности (удобства) записи чисел с помощью арабских цифр, тогда это лучше вводить в трехзначных числах, либо 21-100.
3.3.3. Дана неверная формулировка: «Величины и единицы их измерения: сантиметр, дециметр, метр, килограмм, центнер, час, минута, сутки, неделя, месяц, год». После двоеточия идет перечень не величин, а единиц их измерения. Не корректно опять. Почему здесь опять те же мерки, ведь сантиметр и дециметр изучали в 1 классе?
3.3.4. Формулировка «Действия с монетами в пределах 100 тенге, действия с монетами и купюрами номиналом 100 тг, 200 тг, 500 тг, 1000 тг» требует дополнения и уточнения. Лучше сформулировать таким образом: «Операции с монетами в пределах 100 тенге, 200 тенге, операции с монетами и купюрами номиналом 100 тенге, 200 тенге, 500 тенге, 1000 тенге».
3.3.5. В «Элементах алгебры» имеется такая формулировка: «Свойства 0 и 1 при умножении и делении». Во-первых, сами свойства — это арифметика. Здесь идет речь про запись свойств с помощью букв? А переместительное свойство было в буквенной форме? Тогда почему оно изучается с одной буквой? Как записать переместительное свойство умножения с помощью выражения и с одной буквой? Во-вторых, забыли свойства с числом 0 при сложении и вычитании.
3.3.6. Во 2 классе вводятся уравнения сложной структуры. Чем обосновано столь раннее введение уравнений сложной структуры? Предлагаем перенести в третий класс.
3.3.7. В формулировке «Многоугольник (прямоугольник, квадрат, прямоугольный треугольник)» странные многоугольники перечислены в скобках. Лучше написать так: прямоугольник (квадрат). Откуда взялся прямоугольный треугольник? А где был прямой угол? Ни в первом классе, ни во втором понятие «прямой угол» не вводилось. Почему такой скромный перечень многоугольников? А остроугольный треугольник? Тупоугольный?
3.3.8. «Измерение длин сторон фигуры» — это величины, а не геометрия. Именно поэтому сначала в содержании идет арифметика, потом величины, потом элементы алгебры, потом только геометрия.
3.3.9. Даётся формулировка: «Множества геометрических фигур, натуральных чисел в пределах ста, классификация их по признакам элементов». Множества натуральных чисел в пределах 100 — это конечно сильно! Тогда сюда же необходимо вставить: множества однозначных и двузначных чисел, четных и нечетных, однозначных и двузначных (трёхзначных) в пределах 100.
3.3.10. Формулировка «Объединение равночисленных множеств и разбиение множества на равные части, удаление равночисленных частей множества (без введения термина «множества») некорректна. Через объединение равночисленных множеств разработчики программы хотят показать смысл умножения. Однако смысл деления сформулирован неверно. Есть разбиение множества на равночисленные подмножества — это смысл деления. А вот удаление равночисленных частей множества опять вводит понятие деления, как было ранее в учебнике 2007 года таким образом:
24 : 6
24 – 6 – 6 – 6 – 6 = 0
Сколько раз вычли 6? (четыре раза).
Значит, 24 : 6 = 4
Такой способ представления смысла деления, безусловно имеет право на существование, но только как факультативный. Основным же в классической методике математики является способ представления смысла деления, как обратной операции умножения. Однако разработчики программы не дают понятия «обратная операция» ни во втором классе, перед введением умножения, ни в третьем классе (хотя в 3 классе уже поздно). При этом есть термины «обратная задача», «алгоритмы обратного действия умножения» и другие. Предлагаем перенести умножение и деление в третий класс, начать 3 класс с темы «Операции. Обратные операции», затем вводить умножение и деление. Тем более тема «Операции. Обратные операции» созвучна с темами «Цифровой грамотности».
3.3.11. Формулировку «Последовательности чисел в пределах 100, фигур, предметов» следует уточнить, так как в таком виде — это не имеет отношения к данному разделу «Множества». Это числовой материал. Если здесь имеют ввиду цепочки, то надо переформулировать так: «Последовательности (цепочки) чисел в пределах 100, фигур, предметов, логика их построения».
3.3.12. Обратные задачи даются только во 2 классе. В классической методике математики обратные задачи всегда изучались в 1 классе.
3.3.13. Формулировка «Решение составных задач разными способами» некорректна. Термина «составная задача» нет в начальной школе. ОПЯТЬ ЭТОТ НЕВЕРНЫЙ ТЕРМИН кочует из программы в программу! Задачи в два, три действия — так надо.
3.3.14. Формулировка «Решение составных задач разными способами» надо дополнить какими именно способами: Имеет смысл расширить и перечислить способы решения задач: арифметический практический метод, упорядоченный перебор, рациональный подбор, графический метод, алгебраический.
3.3.15. Формулировка «моделирование решения задач» требует уточнения. Моделируют задачу, а не ее решение. В первом классе же написано верно: «моделирование задачи». Если это задачи в 2 и более действий, разработчики имели ввиду запись решения задачи в виде числового или буквенного выражения (блиц-турниров) возможно? Тогда так и надо написать.
3.4. Базовое содержание учебного предмета «Математика» для 3 класса
Как уже было замечено выше, практически каждая формулировка базового содержания учебного предмета «Математика» для 3 класса написана с грубыми терминологическими нарушениями, а также имеются проблемы с последовательностью и целесообразностью введения ряда понятий.
3.4.1. Базовое содержание третьего класса начинается так: «Числа и величины. Арифметические действия: образование чисел в пределах 1000. Счет. Воспроизведение последовательности чисел в прямом и обратном направлении, место числа в натуральном ряду, чтение, запись, сравнение чисел, разрядный и классовый состав чисел, сумма разрядных слагаемых». Надо сформулировать так: «образование чисел в пределах 1000, название, чтение, запись чисел, последовательность чисел в натуральном ряду». Понятия «класса» здесь ещё НЕТ ! Понятие «класса» в методике математики вводится только в многозначных числах. Как и счета в обратном порядке нет, об этом писали выше, но тут дополним. Счет — это процесс установления взаимно-однозначного соответствия между элементами некоторого конечного множества и элементами отрезка натурального ряда чисел. Отрезок натурального ряда чисел — это подмножество множества натуральных чисел от 1 и до, например, пяти. То есть счет — это ТОЛЬКО 1, 2, 3, 4, 5 и никак иначе. Считаем предметы, чтобы ответить на вопрос Сколько? (узнать количество предметов) б) определить порядковый номер предмета при счете (который по счету красный круг, если считать слева направо, например). Все, что касается нумерации до 100, до 1000 и т.п, там не считаем, а называем числа в прямом и обратном порядке. То есть — не посчитайте от 200 до 215, а назовите числа по-порядку от 200 до 215.
3.4.2. Формулировка «Устные и письменные приёмы (алгоритмы) сложения и вычитания» некорректна. Приемы устных вычислений. Алгоритмы – письменных. НО! Понятие алгоритм надо было ввести. А его не ввели. Если ввели, то когда?
3.4.3. Относительно формулировки «Деление с остатком». Деление с остатком — это часть темы внетабличного деления, надо позже вводить.
3.4.4. Относительно формулировки «Деление суммы и произведения на число» возникает вопрос, зачем вводится правило деления произведения на число? Какой прием разработчики вводят на его основе? Правила деления произведения на число здесь не нужно.
3.4.5. Имеется формулировка: «Алгоритмы устных и письменных приемов умножения/деления двузначного и трехзначного числа на однозначное». Однако, двузначное число на однозначное письменно не делят.
3.4.6. Непонятна логика следующей формулировки: «Доли: чтение, запись, сравнение, наглядное изображение долей. Обыкновенные дроби, образование, чтение, запись, числитель, знаменатель, сравнение дробей с одинаковыми знаменателями с использованием наглядности.
Произведение двух одинаковых множителей, квадрат числа» исправлено частично. Во-первых, как образуются доли? Надо так: «Доли: образование чтение, запись, сравнение, наглядное изображение долей». Далее идет: «Обыкновенные ДРОБИ, сравнение дробей с одинаковыми знаменателями с использованием наглядности». Откуда появилась дробь, если речь о доле? Доли и дроби – разные понятия с точки зрения математики. А формулировка «Произведение двух одинаковых множителей, квадрат числа» откуда здесь? Это должно быть в действиях (выше).
3.4.7. Формулировку «Величины и их единицы измерения: площадь (квадратный сантиметр, квадратный дециметр, квадратный метр), длина (миллиметр,) масса (грамм), время (век), объем(емкость) (миллилитр)» в скобках добавить единицу измерения (например, для площади: 1 см2, 1 дм2, 1 м2), так принято в математике и физике, НЕ НАДО ПИСАТЬ КВАДРАТНЫЙ САНТИМЕТР, иначе учителя и разработчики учебников так и будут учить записывать: вместо 1 дм2 квадратный дециметр.
3.4.8. Даётся формулировка: «Купюры и монеты, операции с ними». Термина операции не было — его надо вводить, об этом было сказано выше.
3.4.9. Формулировка «Буквенная запись свойства 0 и 1 при умножении и делении» повторяется. Зачем? Это было во 2 классе!
3.4.10. По формулировке «Сравнение числовых выражений не более 3-х действий» имеется ряд вопросов. Что значит сравнение выражений?! Как? Сравнивать можно только значения выражений. Ну или выражения по внешнему виду? Есть скобки или нет? Но зачем про это писать в программе, это уже задача дидактического аппарата учебников.
3.4.11. По формулировке «Уравнения сложной структуры, их решение» также имеется ряд вопросов. Какие именно уравнения, какого вида?
3.4.12. Везде по тексту необходимо заменить «выражения с буквами» на «выражения с переменными» необходимо ввести термин переменная. В данной редакции программы его нет. Поэтому используют термин буквы, который явно не математический. Но для применения термина переменная нет понятийных оснований. Можно еще использовать термин — неизвестное число (именно так в уравнениях называем х).
3.4.13. Формулировка «Элементы геометрии»: геометрические фигуры и их классификация. О каких геометрических фигурах тут речь? Необходимо дописать.
3.4.14. Требует конкретного уточнения формулировка о симметричных фигурах: «Понятие симметрии относительно прямой. Симметричные и несимметричные фигуры относительно прямой». О чем речь? О фигурах, имеющих ось симметрии? (типа равностороннего треугольника, круга, квадрата и пр.?) Или о фигурах, симметричных относительно прямой? Это абсолютно РАЗНЫЕ понятия.
3.4.15. Формулировка «Площадь прямоугольника, квадрата, прямоугольного треугольника, периметр комбинированных фигур (не более двух фигур)» уже была в величинах, и там и должна быть.
3.4.16. Для чего даётся формулировка «Построение фигур по заданным значениям, изображение и построение геометрических фигур»? А как еще можно строить фигуры, кроме как по заданным значениям?
3.4.17. «Алгоритм построения прямоугольника и квадрата». Нет такого алгоритма. Надо просто: построение прямоугольника и квадрата.
3.4.18. «Формула нахождения периметра прямоугольника и квадрата. Формулы нахождения площади прямоугольника, квадрата, прямоугольного треугольника». Это — величины, НЕ элементы геометрии. Понятие формулы не введено. А надо ввести в 3 классе, когда решаются задачи не процессы (стоимость и другие). Тогда же акцентируется внимание обучающихся, что буквенная запись, например, переместительного свойства сложения или умножения, формулой не является. Раскрывается суть формулы: показать зависимость между величинами (чем выше цена, тем больше стоимость, и т.д.).
3.4.19. Почему в формулировке «Элементы куба и прямоугольного параллелепипеда (вершина, грань, ребро), развертка фигуры» перечисляются только эти объемные фигуры? Объемных фигур больше. Есть еще шар, конус, цилиндр. В 4 классе их также нет. Это необходимый материал. НЕ проходить объемные фигуры недопустимо. Ибо мир, нас окружающий, не плоский. Если объемные фигуры не проходить, то не решается задача развития пространственных представлений у младшего школьника.
3.4.20. Некорректная формулировка: «Логические простые задачи на переливание (до 4-х шагов)». Простыми в методике математики называют задачи в одно действие. В данной формулировке возможно имелось ввиду «логические задачи на планирование деятельности (до четырех шагов)».
3.4.21. Некорректная формулировка: «Задачи. Методы и способы решения задач»: задачи на умножение и деление, на зависимость между величинами, на доли. Простые и СОСТАВНЫЕ задачи в прямой и косвенной форме» Составных задач в косвенной форме не бывает.
3.4.22. Формулировку «Задачи на нахождение неизвестной стороны треугольника по известным сторонам и периметру. Нахождение неизвестной стороны прямоугольника по известной стороне и периметру» логичнее убрать в величины. Сюда надо вставить: «Задачи на нахождение неизвестного третьего слагаемого»
3.4.23. Имеется формулировка: «Решение задач на все действия в виде числового (буквенного) выражения или отдельных действий, простых задач на все действия в виде уравнения». Уравнение — это метод решения задач, в котором есть смысл только тогда, когда решить при помощи инструмента арифметики задачу невозможно! Лучше это убрать в раздел «элементы алгебры».
3.4.24. Повторяется ошибка из второго класса: «Решение составных задач разными способами и сравнение способов решения, моделирование решения задач». Моделируют задачу, а не решение! Запись решения и ответа. Почему нет задач на процессы? На движение, куплю-продажу, работу? В третьем классе им самое место. Во втором классе — рано. В четвертом — поздно.
3.5. Базовое содержание учебного предмета «Математика» для 4 класса
Частично формулировки базового содержания учебного предмета «Математика» для 4 класса были исправлены, но большинство ошибок так и остались в ТУПр. Также имеются проблемы с последовательностью и целесообразностью введения ряда понятий.
3.5.1. Базовое содержание четвертого класса начинается так: «числа и величины. Арифметические действия: чтение, запись, сравнение, разрядный и классовый состав многозначных чисел в пределах миллиона, сумма разрядных слагаемых, место числа в натуральном ряду чисел. Воспроизведение последовательности тысяч до 10 000, десятков тысяч до 100 000, сотен тысяч до 1 000 000. Число 1 000 000». Такая формулировка не совсем корректна. Следует сформулировать так: «Числа и величины. Арифметические действия»: понятие класс чисел, образование, название, чтение, запись, сравнение, разрядный и классовый состав многозначных чисел в пределах миллиона, сумма разрядных и классных слагаемых, место числа в натуральном ряду чисел».
3.5.2. Относительно формулировки «Округление многозначного числа до указанного разряда»: этот материал можно включать в учебники, но надо исключить как базовое содержание. Вопрос в целесообразности округления. Как подготовка к делению столбиком?
3.5.3. Относительно формулировки «Обыкновенные дроби». Нет смысла в этом термине. Поскольку нет объекта для сравнения — десятичных дробей. В методике математики обыкновенные дроби всегда изучаются в паре с десятичными. Перенести термин в 5 класс. А в 4 классе так: дроби. Образование дроби, чтение, запись, числитель, знаменатель.
3.5.4. ОШИБКА в формулировке: «Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями, с одинаковыми числителями с использованием наглядности. Правильные, неправильные дроби, смешанные числа». Неправильные дроби не введешь на наглядной основе. Нужно вводить новый смысл дроби — как результат деления двух натуральных чисел, и только потом говорить о неправильных.
3.5.5. Относительно формулировки «Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Процент, как 1/100 часть числа». Запятой после слова процент не надо. Процент, как 1/100 часть числа. Преобразование процентов в дроби, дробей в проценты (вида 25/100=25%, 25%=25/100) записать надо в виде дроби, а не через знак «\». В математике нет такого знака, есть дробная черта. Можно использовать только тут: 1 км\ч, т.е при обозначении скорости.
3.5.6. Формулировку «Устные и письменные (алгоритмы) вычислительные приемы умножения и деления (без остатка и с остатком)» уточнить. Алгоритмы? Или приёмы?
3.5.7. Объем геометрической фигуры, единицы измерения объема. И необходимо ВЕЗДЕ записать так: 1см3, 1м3,1 мм3.
3.5.8. Почему единицы измерения величин записаны в программе словами «миллиметр, сантиметр и пр.? Единицы измерения величин длины: 1 мм, 1 см, 1 дм, 1 м, 1 км; массы: 1 г, 1 кг, 1 ц, 1 т; объема (емкости): 1 л, 1 мл; площади: 1 мм2, 1 км2, 1 гектар, 1 ар), скорости (1 км/ч, 1 м/с, 1 км/мин, 1 м/мин). Все сокращенные единицы величин пишутся только рядом с числом. Это закон и математики и физики. Откуда появилась скорость? Где и когда вводили?
3.5.9. Даётся формулировка: «Уравнения усложненной структуры и их решение». Какой? За счет чего? Как автору писать учебник? Или это ошибка перевода с казахского?
3.5.10. ОПЯТЬ по формулировке «Формула деления с остатком». А где понятие формулы? Прежде, чем использовать понятие, надо его ввести! Формулы, используемые при решении задач на движение (на встречное движение, движение в противоположных направлениях, в одном направлении вдогонку и с отставанием). А где была просто формула пути? Сначала нужны задачи на движение одного объекта: понятие скорости, формула пути. Это обычно 3 класс. А в 4-ом уже задачи на одновременное движение.
3.5.11. По формулировке ««Элементы геометрии»: куб, прямоугольный параллелепипед и их элементы. Это было в 3 классе.
3.5.12. Формулировка «Классификация треугольников на основе углов». Поздно. Это 2 класс обычно.
3.5.13. Формулировка «Симметричные и несимметричные плоские фигуры относительно прямой. Оси симметрии плоских фигур. И это было.
3.5.14. Градусная мера угла. Это — величина, а не геометрияи символ обозначения угла (900); и необходимо использовать верный символ «°», иначе и учителя и ученики будут думать, что существует какое-то число в нулевой степени.
3.5.15. Формулировка «Логические задачи на рассуждение с конца, на упорядочивание и соответствие составлением таблиц и графов/на развитие пространственного мышления» не в своём разделе. Все, что связано с пространством – это геометрия, а не множества.
Далее будет ещё п.п.3.6.
3.6. Вопросы и ОШИБКИ в целях с цифровой кодировкой.
Сегодня не успеваю, завтра размещу продолжение.
3.6. Вопросы и ОШИБКИ в целях с цифровой кодировкой.
Так как неверно сформулировано базовое содержание предмета, то эти же некорректные формулировки перекочевали и в цели, таким образом многие цели сформулированы неверно.
3.6.1. Цель 1.1.1.1 «понимать образование натуральных чисел/числа нуль, различать цифру и число, считать в прямом и обратном порядке в пределах 10/20, определять место числа в натуральном ряду чисел/на числовом луче» — ОШИБКА: счета в обратном порядке нет, ещё раз внимательно прочитайте п.п. 3.4.1. Такая же ОШИБКА в целях 2.1.1.1 и 3.1.1.1.
3.6.2. Цель 1.1.1.2 «строить графическую модель двузначных чисел от 11 до 20». А почему мы начинаем строить модель числа сначала двузначных чисел? И как мы можем её построить без модели однозначного числа (точка)? Цели 2.1.1.2, 3.1.1.2, 4.1.1.2 состоят из двух частей: строить графическую модель и использовать таблицу разрядов. Возможно лучше разделить каждую из этих целей на отдельную цель. И в 4 классе строить графическую модель числа проблематично. Возможно вместо «строить» использовать «обсуждать различные модели многозначных чисел»?
3.6.3. Цель 1.1.1.3 «читать, записывать и сравнивать однозначные числа и число 10/числа от 11 до 20, определять состав однозначных чисел из двух слагаемых/ определять разрядный состав чисел в пределах 20, раскладывать на сумму разрядных слагаемых» ОШИБКА в том, что в методике математики понятие разряда вводится в нумерации 21-100. Здесь пока рано. Цель 2.1.1.3: во втором классе нет смысла в римских числах, об этом было выше.
3.6.4. Цели группы *.1.1.5 весьма разнородные. В первом классе: «находить половину количества 2 (4, 6, 8, 10) предметов путем практического действия», а в 4 классе: «различать, читать, записывать, отмечать на числовом луче правильные, неправильные дроби, смешанные числа, сравнивать обыкновенные дроби с одинаковыми знаменателями/ одинаковыми числителями с использованием наглядности». Вопросы: почему не отмечаем на числовом луче числа в 1, 2, 3 классе? Число становится числом, когда мы его поселяем на числовом отрезке (луче). В 3 классе про доли и дроби писали выше. Необходимо откорректировать эти цели.
3.6.5. Цель 4.1.1.6 «понимать, что процент — сотая часть целого, использовать для обозначения процента символ % / записывать преобразование процентов в дроби, дроби в проценты (15/100=15%,15%=15/100)» недостижима, так как не ввели понятие «целое и части». И необходимо дроби писать исключительно через дробную черту. Знак «\» в тексте программы в записи дробей использовать нельзя.
3.6.6. Цели подраздела «1.2 Операции над числами». Основная проблема в том, что понятие «часть и целое» надо ввести в 1 классе ещё в дочисловом периоде. На примере подраздела 1.2 это четко видно. Вот в 3 классе появляется цель 3.1.2.1 «понимать, что дроби — это одна или несколько равных частей целого». Извините, а где было введено понятие «часть и целое»? НИГДЕ! Значит и эта цель будет недостижима. Проблема в том, что часть программы написана научным языком, а другая часть антинаучным. Сложение и вычитание в данном подразделе написаны как раз научным языком: «1.1.2.1 понимать действие сложения как объединение множеств, не имеющих общих элементов и вычитание как удаление части множества, использовать символы «+», «-», «=»» Но может быть стоит написать «БЕЗ ВВЕДЕНИЯ ПОНЯТИЯ «МНОЖЕСТВО» и связанной с ним терминологии»? Иначе авторы учебника и учителя опять в 1 классе начнут рисовать множество, писать в учебнике «множество», «элементы множества», «объединение множеств», и прочее из программы «Математика. 7 класс». К сожалению, так было в учебниках первого класса 2016 года. В цели 2.1.2.1 «понимать и использовать умножение, как сложение одинаковых слагаемых и деление как разбиение множества элементов по содержанию, на равные части, использовать знаки «⋅» и «:»» имеется своя проблема. Мы о ней писали выше. См. п.п. 3.3.10. Эта проблема будет повторяться не раз, так как НЕ введено понятие «ОПЕРАЦИЯ, ОБРАТНАЯ ОПЕРАЦИЯ». Ведь деление — это обратная операция умножения, а сложение и вычитание — это взаимообратные операции. Те, кто занимаются по учебникам Петерсон Л.Г. знают, как легко можно ввести понятия «операция, обратная операция», детям эта тема очень даже нравится. И раз уж мы заговорили о научности, предлагаем понятие «СЧЕТ» ввести также через научную терминологию, чтобы НИ У КОГО больше не осталось сомнений, что СЧЁТ это 1, 2, 3, 4, 5, … И ВСЁ! НЕТ СЧЁТА В ОБРАТНОМ НАПРАВЛЕНИИ (Порядке), нет понятия «обратный счёт» в математике. Предлагаем написать в программе так: «Счет — это процесс установления взаимно-однозначного соответствия между элементами некоторого конечного множества и элементами отрезка натурального ряда чисел: 1, 2, 3, 4, 5 …». Кроме того, НЕЛЬЗЯ подменять вычисления понятием «счет». Вычисления: 3 + 4 = 7, 5 · 3 = 15, и пр., а счет: 1, 2, 3, 4, 5…
К сожалению, в ГОСО сейчас также НЕВЕРНАЯ формулировка, понятие «вычисления» заменили понятием «счет». При обсуждении ГОСО мы обращали внимание на эту ОШИБКУ, но она так и осталась в ГОСО. Вот эта ОШИБКА: «Задачи начального образования: 1) формировать навыки грамотной речи, чтения, письма и СЧЕТА». Необходимо исправить так: «формировать навыки грамотной речи, чтения, письма, вычислительные навыки». Также из ГОСО необходимо ИСКЛЮЧИТЬ понятие «множество» в формулировке Главы 3. «Требования к уровню подготовки обучающихся». Зачем в начальной школе вводить понятия алгебры 7 класса?
3.6.7. Группа целей *.1.2.2 также содержит ОШИБКИ. Цель 1.1.2.2 «понимать, что сложение и вычитание — взаимообратные действия, определять зависимость между компонентами, результатами этих действий». Необходимо исправить так: «понимать, что сложение и вычитание — взаимообратные действия, определять зависимость между компонентами и результатом действий сложения и вычитания». Компонентов обычно два (слагаемое, слагаемое; уменьшаемое, вычитаемое), а результат всегда ОДИН, поэтому в единственном числе. Соответственно в цели 2.1.2.2 «понимать, что умножение и деление взаимообратные действия, определять зависимость между компонентами, результатами этих действий; особые случаи умножения и деления на 0 и 1, невозможность деления на нуль» необходимо исправить так: «определять зависимость между компонентами и результатом действий умножения и деления». А если ввести понятие «Операция», то исправленный вариант звучит так: « 2.1.2.2 понимать, что умножение и деление взаимообратные операции, определять зависимость между компонентами и результатом действий умножения и деления; особые случаи умножения и деления на 0 и 1, невозможность деления на нуль» необходимо исправить так: «определять зависимость между компонентами и результатом действий умножения и деления».
3.6.8. Группа целей *.1.2.3 также содержит ОШИБКИ. Например, цель 1.1.2.3 «применять переместительное свойство сложения/ свойство 0 и 1 при сложении и вычитании». Формулировка «свойство 1 и 0 при сложении и вычитании» неверна. При сложении и вычитании имеются ТОЛЬКО свойства действий с нулем. С единицей свойства есть только с умножением и делением. Цель для 2 класса – надо удалить знак «-» в конце. Вообще надо заметить, что в тексте ТУПр ОТСУТСТВУЕТ КОРРЕКТОРСКАЯ работа. Это видно по знакам «тире», «минус», «дефис». НЕОБХОДИМО ИСПРАВИТЬ ПО ВСЕМУ ТЕКСТУ ТУПр. Кухонным языком: длинная черта — это тире, короткая — это дефис, а средняя между ними — минус: «тире —», «дефис -», «минус – ».
ПРОДОЛЖЕНИЕ СЛЕДУЕТ
2.1.4. Ожидаемые результаты (п.4) в программе есть, но они почему-то в параграфе 3, который называется «Цели обучения, ориентированные на ожидаемые результаты» В формулировке: «В типовой учебной программе достижение ожидаемых результатов обучения обеспечивается системой целей обучения, которые служат основой для определения содержания учебного предмета», есть логическая неточность (инверсия) в причинно-следственной связи между целями, результатами и содержанием. Проблема заключается в следующем: Формулировка говорит, что «цели обучения… служат основой для определения содержания». Это верно. Но далее мы наблюдаем инверсию РЕЗУЛЬТАТА и ЦЕЛИ. Формулировка говорит, что «достижение ожидаемых результатов… обеспечивается системой целей». Это логически некорректно или, по крайней мере, избыточно.
КОРРЕКТНАЯ ЛОГИЧЕСКАЯ ЦЕПОЧКА выглядит так. В стандартной педагогической логике причинно-следственная связь ВСЕГДА имеет следующую строгую последовательность:
Цели Содержание Процесс обучения Ожидаемые результаты.
Цель (для чего?) — это намерение или желаемый конечный пункт, который мы хотим достичь (например, развитие логического мышления). Содержание (Что?) — определяется Целью. Ожидаемые Результаты (Что получим?) — это формулировка Цели в измеримых терминах после завершения обучения. Следовательно, цели не «обеспечивают достижение результатов» — ожидаемые результаты являются конкретизацией и критерием оценки достижения Целей. Достижение результатов обеспечивается Содержанием и Процессом обучения, а не самими Целями. Объясним кухонным языком: мы хотим сварить суп – это наша цель! Ура, я сыт, потому что я поставил такую удивительно правильную цель! Мне не надо знать, как варить (содержание) и мне не надо варить (процесс)! Я сыт уже от того что поставил цель!
Предлагаем следующую формулировку: «Система целей обучения служит основой для определения Содержания учебного предмета, а ожидаемые результаты обучения являются измеримыми критериями достижения этих целей». Также предлагаем дать определение, что мы называем Ожидаемыми результатами.
Ожидаемые результаты обучения — это ключевой элемент современного планирования учебного процесса. Это конкретные, измеримые, наблюдаемые и оцениваемые утверждения, которые описывают, что именно обучающийся должен знать, понимать и уметь делать (или в каком качестве измениться) после завершения определённого этапа обучения (темы, раздела, курса). Они всегда формулируются с помощью глаголов действия, которые можно проверить (например, «Умеет выполнять…», «Объясняет…», «Анализирует…», а не абстрактных понятий («Понимает…»). Критерии успеха служат критерием для оценки эффективности программы и работы учителя. Именно ОРО ложатся в основу разработки заданий для суммативного и формативного оценивания.
В контексте типовой учебной программы, ожидаемые результаты — это конкретный список того, что ученик должен продемонстрировать, завершив, например, курс математики 1 класса, и они прямо вытекают из общих Целей предмета.
Кроме того, нет четкого списка «предметных» и «метапредметных» результатов. Что касается метапредметных результатов их надо не просто перечислить, как это сделано в других ТУПр, но надо ещё и классифицировать: регулятивные, познавательные, коммуникативные и пр.)
2.2. Наличие долгосрочного плана.
Согласно Приказа № 221 «Об утверждении Правил организации работы по экспертизе и апробации типовых учебных планов, типовых учебных программ дошкольного воспитания и обучения, начального, основного среднего, общего среднего образования» https://adilet.zan.kz/rus/docs/V2100022776 (в который были внесены актуальные изменения в 2025 году) понятие «Долгосрочный план» отсутствует. Однако в программах начального уровня образования он почему-то сохранился. Считаем это нарушением. Это принципиально важно: долгосрочный план многие воспринимают буквально как образец календарно-тематического плана. Например, до сих пор многие учителя думают что, для того чтобы достичь цели 1.1.2.4 «выполнять устно сложение и вычитание без перехода через десяток однозначных чисел / двузначного и однозначного числа в пределах 20/ сложение и вычитание десятков» (звёздочки* НЕТ – значит ВСЁ ЭТО ОСВОИТЬ) надо на одном уроке сразу всё объяснить: и сложение – вычитание типа «4 + 3; 7 – 3», и типа «10 + 4; 15 – 5», и типа «10 +30».
В программе должны быть только цели (система целей).
3.6.9. Цель «3.1.1.5 демонстрировать образование, читать, записывать доли/ обыкновенные дроби, сравнивать доли/ дроби с одинаковыми знаменателями с использованием наглядности» в части формулировки «обыкновенные дроби» МЕТОДИЧЕСКАЯ ОШИБКА. Когда ввели термин обыкновенные дроби? В этом термине есть смысл только тогда, когда вводится понятие десятичные. А «десятичные» НЕ вводятся в ни в 3 классе, ни в 4 классе. Значит и «обыкновенные» дроби вводить НЕЛЬЗЯ.
3.6.10. Цели группы *.1.2.5 о таблицах сложениия и умножения. Остаётся спорным вопрос о разделении изучения таблицы умножения по ЧАСТЯМ: во втором классе изучают таблицу умножения на 2, 3, 4, 5, а в 3 классе на 6, 7, 7, 9. Необходимо перенести изучение таблицы умножения целиком во 2 класс либо в 3 класс.
3.6.11. Цели групп *.1.3.3 и *.1.3.4. Если в базовом содержании есть термин «действия с именованными числами», то почему тут такие сложные формулировки? «Выполнять действия над значениями величин» следует заменить на: «Действия с именованными числами», это гораздо понятнее детям. Для целей группы *.1.3.4 «преобразовывать единицы измерения длины» заменить на «преобразовывать именованные числа с единицами измерения длины…» и т.д во всех классах. Рассмотрим цели для каждого класса. Для 2 класса: «2.1.3.3 сравнивать значения величин длины: 1см, 1дм, 1м/ массы: 1кг, 1ц/ объема (емкости): 1л/ времени: 1ч, 1мин, 1сут, месяц, год и выполнять действия сложения/ вычитания/ умножения/ деления над значениями величин». Во 2 классе вычисления в пределах 100. Однако, когда мы проводим действия с именованными числами существует правило, согласно которому необходимо перевести более мелкие единицы величин в более крупные, например 40 см + 55 см = 105 см = 1 м 5 см. Если вводим «год», то тогда надо уметь читать, например, «2025 год». В 3 классе вычисления в пределах 1000, но … сколько миллиметров в 1 км? В 4 классе вычисления в пределах 1000000, но … 1 кубический метр — это 1 000 000 000 кубических миллиметров. Данную группу целей необходимо дополнить, чтобы ограничить вычисления во 2 классе в пределах 100, в 3 классе в пределах 1000, в 4 классе в пределах 1 000 000.
4. К ЧЕМУ ПРИВЕЛА «СПИРАЛЬНОСТЬ» В МАТЕМАТИЧЕСКОМ ОБРАЗОВАНИИ.
Ранее в ТУПр по разным предметам было сказано: «Цели обучения учитывают принцип спиральности в обучении». Радует тот факт, что в данной редакции программы этот постулат отсутствует. Однако и концентрический принцип построения ТУПр также НЕ обозначен. Это принципиально! Более того в Параграфе 3. (Цели обучения, ориентированные на ожидаемые результаты по учебному предмету) имеется таблица в которой представлена система целей как раз в спиральной концепции. Иначе чем объяснить, почему повторяются одни и те же формулировки, единицы величин и пр.?
4.1. Необходимо обязательно написать в ТУПр «Математика» начальной школы: «Содержание учебного материала расположено в соответствии с концентрическим принципом: сначала дочисловой период, затем числа в пределах 10, следующий концентр числа в пределах 100, затем концентр 1000, затем концентр многозначных чисел».
4.2. Аргументация концентрического принципа в начальном курсе математики. Утверждение Типовой учебной программы о том, что цели обучения в начальной математике учитывают спиральный принцип, является методически спорным. Начальный курс математики традиционно и эффективно строится по концентрическому принципу. Концентрический принцип построения программы (от лат. concentrum — сосредоточенность) подразумевает полное изучение некоторого объёма материала в определённых рамках (концентре), после чего тот же материал изучается вновь, но в новых, расширенных границах. Именно в концентрическом содержании мы наблюдаем завершённость каждого этапа (концентра), например, полное освоение нумерации и арифметических действий в пределах 10 (первый концентр). Именно в концентрической математике мы наблюдаем перенос знаний (Генерализация), например, уже освоенные алгоритмы и свойства (например, переместительное свойство сложения) переносятся на новый, более крупный концентр: в пределах 100, затем в пределах 1000 и т.д. Именно на концентрической математике можно освоить суть нумерации: Например, если ученик умеет складывать 4 и 2, то он точно так же складывает 4 десятка и 2 десятка, и так далее. Только концентрическая математика способна содержательно представить алгоритмизацию. Например, алгоритм деления на двузначное число (288:12) полностью повторяется при делении на трёхзначное число (2880:120), требуя лишь коррекции в записи и количестве знаков. Концентрический принцип обеспечивает прочность усвоения (материал не бросается на полпути); осознанность (алгоритмы изучаются целиком, а не фрагментами); Системность (понятия и действия в новом концентре опираются на прочный фундамент предыдущего). Методика преподавания математики, особенно в начальной школе, традиционно опирается на концентризм. Это зафиксировано в работах многих классиков педагогики и методики: работы М. И. Моро, М. А. Бантовой, Н. Б. Истоминой, Т.К. Оспанов и других ведущих методистов однозначно описывают построение начального курса арифметики по концентрам (десяток, сотня, тысяча, многозначные числа).
4.3. Остановимся подробнее на опасности спирального принципа в начальной школе. Спиральный принцип (от англ. spiral curriculum, введен Дж. Брунером) означает, что тема постоянно повторяется на разных этапах обучения, но каждый раз с усложнением и углублением. Хотя спиральный принцип хорош для изучения сложных, абстрактных или постоянно развивающихся наук (например, физики), его чрезмерное использование в начальной математике опасно. Построение программы в спиральном виде привело к нарушению методики, нарушению последовательности и повторам в изучении тем порой в одном и том же классе: одни и те же цели встречались сразу в нескольких четвертях одного и того же класса. В отличие от концентризма, где концентр закрыт и материал усвоен, спираль оставляет ощущение незавершённости. Арифметика начальной школы — это наука о точной логике, алгоритмах и правилах. В ней нет места постоянному «переоткрытию» или «углублению» базовых фактов (2 + 3 всегда равно 5). Эффективнее освоить действие в одном концентре (до 10), чтобы затем применить его как готовый инструмент в следующем концентре (до 1000).
Таким образом, использование термина «спиральность» в программе по начальной математике является методической ошибкой. Целесообразно использовать термин «концентрический принцип», который обеспечивает прочность, системность и логическую последовательность, необходимую для формирования базового математических знаний младших школьников.